1.1.3导数的几何意义[A基础达标]1．已知二次函数f(x)的图象的顶点坐标为(1，2)，则f′(1)的值为()A．1B．0C．－1D．2解析：选B.因为二次函数f(x)的图象的顶点坐标为(1，2)，所以过点(1，2)的切线平行于x轴，即切线的斜率为0，所以f′(1)＝0，选B.2．曲线f(x)＝在点(3，3)处的切线的倾斜角等于()A．45°B．60°C．135°D．120°解析：选C.f′(x)＝limlim＝9limlim＝－9limlim＝－，所以f′(3)＝－1.又切线的倾斜角的范围为[0°，180°)，所以所求倾斜角为135°.3．设曲线y＝ax2在点(1，a)处的切线与直线2x－y－6＝0平行，则a等于()A．1B.C．－D．－1解析：选A.因为y′|x＝1＝limlim＝limlim＝limlim(2a＋aΔx)＝2a，所以2a＝2，所以a＝1.4．若曲线f(x)＝x2的一条切线l与直线x＋4y－8＝0垂直，则l的方程为()A．4x－y－4＝0B．x＋4y－5＝0C．4x－y＋3＝0D．x＋4y＋3＝0解析：选A.设切点为(x0，y0)，因为f′(x)＝limlim＝limlim(2x＋Δx)＝2x.由题意可知，切线斜率k＝4，即f′(x0)＝2x0＝4，所以x0＝2.所以切点坐标为(2，4)，切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0，故选A.5．若曲线y＝x2＋ax＋b在点(0，b)处的切线方程是x－y＋1＝0，则()A．a＝1，b＝1B．a＝－1，b＝1C．a＝1，b＝－1D．a＝－1，b＝－1解析：选A.因为点(0，b)在直线x－y＋1＝0上，所以b＝1.又y′＝lim＝2x＋a，所以过点(0，b)的切线的斜率为y′|x＝0＝a＝1.6．已知函数y＝f(x)在点(2，1)处的切线与直线3x－y－2＝0平行，则y′|x＝2＝________．解析：因为直线3x－y－2＝0的斜率为3，所以由导数的几何意义可知y′|x＝2＝3.答案：37．已知f(x)＝x2＋ax，f′(1)＝4，曲线f(x)在x＝1处的切线在y轴上的截距为－1，则实数a的值为________．解析：由导数的几何意义，得切线的斜率为k＝f′(1)＝4.又切线在y轴上的截距为－1，所以曲线f(x)在x＝1处的切线方程为y＝4x－1，从而可得切点坐标为(1，3)，所以f(1)＝1＋a＝3，即a＝2.1答案：28．设f(x)存在导函数，且满足limlim＝－1，则曲线y＝f(x)上点(1，f(1))处的切线斜率为________．解析：limlim＝limlim＝f′(x)＝－1.答案：－19．已知曲线y＝x3上一点P，求：(1)曲线在点P处的切线方程；(2)过点P的曲线的切线方程．解：(1)因为函数y＝x3的导函数为y′＝limlim＝limlim＝limlim＝limlim[3x2＋3xΔx＋(Δx)2]＝x2，所以y′＝22＝4.所以曲线在点P处的切线的斜率等于4.故曲线在点P处的切线方程是y－＝4(x－2)，即12x－3y－16＝0.(2)设切点为(x0，y0)，由(1)知y′＝x2，则点(x0，y0)处的切线斜率k＝x，切线方程为y－y0＝x(x－x0)．又切线过点P，且(x0，y0)在曲线y＝x3上，所以整理得x－3x＋4＝0，即(x0－2)2(x0＋1)＝0，解得x0＝2或x0＝－1.当x0＝2时，y0＝，切线斜率k＝4，切线方程为12x－3y－16＝0；当x0＝－1时，y0＝－，切线斜率k＝1，切线方程为3x－3y＋2＝0.故过点P的切线方程为12x－3y－16＝0或3x－3y＋2＝0.10．已知曲线f(x)＝－在x＝4处的切线方程为5x＋16y＋b＝0，求实数a与b的值．解：因为直线5x＋16y＋b＝0的斜率k＝－，所以f′(4)＝－.而f′(4)＝lim＝lim＝lim[－]＝－，所以－＝－，解得a＝1.所以f(x)＝－，所以f(4)＝－＝－，即切点为(4，－)．因为(4，－)在切线5x＋16y＋b＝0上，所以5×4＋16×(－)＋b＝0，即b＝8，从而a＝1，b＝8.[B能力提升]11．曲线y＝x＋上任意一点P处的切线斜率为k，则k的取值范围是()A．(－∞，－1)B．(－1，1)C．(－∞，1)D．(1，＋∞)解析：选C.y＝x＋上任意一点P(x0，y0)处的切线斜率为k＝y′|x＝x0＝lim＝lim＝1－<1.即k<1.12．若抛物线y＝x2－x＋c上一点P的横坐标是－2，在点P处的切线恰好过坐标原点，则实数c的值为________．解析：y′＝lim＝2x－1，在点P处切线的斜率为2×(－2)－1＝－5.因为点P的横坐标2是－2，所以点P的纵坐标是6＋c，故直线OP的斜率为－，根据题意有－＝－5，解得c＝4.答案：413．已知直线l：y＝4x＋a与曲线C：y＝x3－2x2＋3相切，求a的值及切点坐标．解：设直线l与曲线C相切于点P(x0，y0)，因为f′(x)＝limlim＝limlim＝3x2－4x，由题意可知k＝4，即3x－4x0＝4，解得x0＝－或x0＝2，所以切点的坐标为(－，)或(2...
