§1.1.1变化率问题§1.1.2导数的概念[限时50分钟,满分80分]一、选择题(每小题5分,共30分)1.质点运动规律s=2t2+5,则在时间(2,2+Δt)中,相应的平均速度等于A.8+2ΔtB.8+2Δt+C.4+ΔtD.8+Δt解析Δs=s(2+Δt)-s(2)=2(2+Δt)2+5-(2×22+5)=2(Δt)2+8Δt.∴==8+2Δt.答案A2.函数y=x2-2x在x=2附近的平均变化率是A.2B.ΔxC.Δx+2D.1解析Δy=f(2+Δx)-f(2)=(2+Δx)2-2(2+Δx)-(4-4)=(Δx)2+2Δx,∴==Δx+2.答案C3.设函数y=f(x)可导,则等于A.f′(1)B.3f′(1)C.f′(1)D.以上都不对解析=3=3f′(1).答案B4.一个物体的运动方程为s=(2t+1)2,其中s的单位是米,t的单位是秒,那么该物体在1秒末的瞬时速度是A.10米/秒B.8米/秒C.12米/秒D.6米/秒解析∵s=4t2+4t+1,1Δs=[4(1+Δt)2+4(1+Δt)+1]-(4×12+4×1+1)=4(Δt)2+12Δt,==4Δt+12,∴v==(4Δt+12)=12(米/秒).答案C5.如果函数y=f(x)=在点x=x0处的瞬时变化率是,那么x0的值是A.B.C.1D.3解析函数f(x)=在x=x0处的瞬时变化率,f′(x0)====,∴x0=.答案A6.某物体做直线运动,其运动规律是s=t2+(t的单位是秒,s的单位是米),则它的瞬时速度为0米/秒的时刻为A.8秒末B.6秒末C.4秒末D.2秒末解析设当t=t0时该物体瞬时速度为0米/秒,∵==2t0+Δt-,∴=2t0-,由2t0-=0得t0=2.答案D二、填空题(每小题5分,共15分)7.函数y=-3x2+6在区间[1,1+Δx]内的平均变化率是________.解析===-6-3Δx.答案-6-3Δx8.一质点的运动方程为s=,则t=3时的瞬时速度为________.解析由导数定义及导数的物理意义知2s′====-,∴s′=-,即t=3时的瞬时速度为-.答案-9.已知曲线y=-1上两点A、B,当Δx=1时,割线AB的斜率为________.解析Δy=-=-==.∴==-,即k==-.∴当Δx=1时,k=-=-.答案-三、解答题(本大题共3小题,共35分)10.(10分)一做直线运动的物体,其位移s与时间t的关系是s=3t-t2.(1)求此物体的初速度;(2)求此物体在t=2时的瞬时速度;(3)求t=0到t=2的平均速度.解析(1)v0===(3-Δt)=3.(2)v2==(-Δt-1)=-1.(3)v===1.11.(12分)已知f(x)=x2,g(x)=x3,求适合f′(x0)+2=g′(x0)的x0值.解析由导数的定义知,f′(x0)===2x0,g′(x0)===3x.因为f′(x0)+2=g′(x0),所以2x0+2=3x,即3x-2x0-2=0,解得x0=或x0=.312.(13分)节日期间燃放烟花是中国的传统习惯之一,制造时通常希望它在达到最高点时爆裂.如果烟花距地面的高度h(m)与时间t(s)之间的关系式为h(t)=-4.9t2+14.7t+18,求烟花在t=2s时的瞬时速度,并解释烟花升空后的运动状况.解析因为==-9.8t-4.9Δt+14.7,所以h′(t)==(-9.8t-4.9Δt+14.7)=-9.8t+14.7,所以h′(2)=-4.9,即在t=2s时烟花正以4.9m/s的速度下降.由h′(t)=0得t=1.5,所以在t=1.5s附近,烟花运动的瞬时速度几乎为0,此时达到最高点并爆裂,在1.5s之前,导数大于0且递减,所以烟花以越来越小的速度上升,在1.5s之后,导数小于0且绝对值越来越大,所以烟花以越来越大的速度下降,直至落地.4