3.1.5空间向量运算的坐标表示(建议用时：40分钟)一、选择题1．已知a＝(1，－2,1)，a－b＝(－1,2，－1)，则b＝()A．(2，－4,2)B．(－2,4，－2)C．(－2,0，－2)D．(2,1，－3)【答案】A[b＝a－(a－b)＝(1，－2,1)－(－1,2，－1)＝(2，－4,2)．]2．设A(3,3,1)，B(1,0,5)，C(0,1,0)，则AB的中点M到点C的距离|CM|的值为()A．B．C．D．【答案】C[ AB的中点M，∴CM＝，故|CM|＝|CM|＝＝.]3．已知a＝(x,1,2)，b＝(1,2，－y)，且(2a＋b)∥(－a＋2b)，则()A．x＝，y＝1B．x＝，y＝－4C．x＝2，y＝－D．x＝1，y＝－1【答案】B[2a＋b＝(2x＋1,4,4－y)，－a＋2b＝(2－x,3，－2y－2)， (2a＋b)∥(－a＋2b)，则存在非零实数λ，使得2a＋b＝λ(－a＋2b)，∴∴.]4．已知向量a＝(－2，x,2)，b＝(2,1,2)，c＝(4，－2,1)，若a⊥(b－c)，则x的值为()A．－2B．2C．3D．－3【答案】A[ b－c＝(－2,3,1)，a·(b－c)＝4＋3x＋2＝0，∴x＝－2.]5．已知a＋b＝(2，，2)，a－b＝(0，，0)，则cos〈a，b〉＝()A．B．C．D．【答案】C[由已知，得a＝(1，，)，b＝(1,0，)，∴cos〈a，b〉＝＝＝.]二、填空题6．已知a＝(1,1,0)，b＝(0,1,1)，c＝(1,0,1)，p＝a－b，q＝a＋2b－c，则p·q＝________.【答案】－1[ p＝a－b＝(1,0，－1)，q＝a＋2b－c＝(0,3,1)，∴p·q＝1×0＋0×3＋(－1)×1＝－1.]7．已知a＝(cosα，1，sinα)，b＝(sinα，1，cosα)，则向量a＋b与a－b的夹角是________.【答案】90°[a＋b＝(cosα＋sinα，2，sinα＋cosα)，a－b＝(cosα－sinα，0，sinα－cosα)，∴(a＋b)·(a－b)＝0，∴(a＋b)⊥(a－b)．]8．已知点A(1,2,3)，B(2,1,2)，P(1,1,2)，O(0,0,0)，点Q在直线OP上运动，当QA·QB取基础篇1得最小值时，点Q的坐标为________．【答案】[设OQ＝λOP＝(λ，λ，2λ)，故Q(λ，λ，2λ)，故QA＝(1－λ，2－λ，3－2λ)，QB＝(2－λ，1－λ，2－2λ)．则QA·QB＝6λ2－16λ＋10＝62－，当QA·QB取最小值时，λ＝，此时Q点的坐标为.]三、解答题9．如图3140，已知四棱台ABCDA1B1C1D1的上、下底面分别是边长为3和6的正方形，A1A＝6，且A1A⊥底面ABCD．点P，Q分别在棱DD1，BC上．若P是DD1的中点，证明：AB1⊥PQ.图3140【答案】由题设知，AA1，AB，AD两两垂直．以A为坐标原点，分别以AB，AD，AA1为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则A(0,0,0)，B1(3,0,6)，D(0,6,0)，D1(0,3,6)．设Q(6，m,0)，其中m＝BQ,0≤m≤6.若P是DD1的中点，则P，PQ＝.又AB1＝(3,0,6)，于是AB1·PQ＝18－18＝0，所以AB1⊥PQ，即AB1⊥PQ.10．已知正三棱柱ABCA1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O，O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如图3141所示的空间直角坐标系．图3141(1)求三棱柱的侧棱长；(2)求异面直线AB1与BC所成角的余弦值.【答案】(1)设正三棱柱的侧棱长为h，由题意得A(0，－1,0)，B(，0,0)，C(0,1,0)，B1(，0，h)，C1(0,1，h)，则AB1＝(，1，h)，BC1＝(－，1，h)，因为AB1⊥BC1，所以AB1·BC1＝－3＋1＋h2＝0，所以h＝.(2)由(1)可知AB1＝(，1，)，BC＝(－，1,0)，2所以AB1·BC＝－3＋1＝－2.因为|AB1|＝，|BC|＝2，所以cos〈AB1，BC〉＝＝－.所以异面直线AB1与BC所成角的余弦值为.1．已知A(1,2，－1)，B(5,6,7)，则直线AB与平面xOz交点的坐标是()A．(0,1,1)B．(0,1，－3)C．(－1,0,3)D．(－1,0，－5)【答案】D[设直线AB与平面xOz交点的坐标是M(x,0，z)，则AM＝(x－1，－2，z＋1)．又AB＝(4,4,8)，AM与AB共线，∴AM＝λAB，即，解得x＝－1，z＝－5，∴点M的坐标为(－1,0，－5)．故选D．]2．直三棱柱ABCA1B1C1中，∠BCA＝90°，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BC＝CA＝CC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A．B．C．D．【答案】C[建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz，设BC＝2，则B(0,2,0)，A(2,0,0)，M(1,1,2)，N(1,0,2)，所以BM＝(1，－1,2)，AN＝(－1,0,2)，故BM与AN所成角θ的余弦值cosθ＝＝＝.]3．如图3142，在三棱锥VABC中，顶点C在空间直角坐标系的原点处，顶点A，B，V分别在x，y，z轴上，D是线段AB的中点，且AC＝BC＝2，当∠VDC＝60°时，异面直线AC与VD所成角的余弦值为________．图3142【答案】[由题意，A(2,0,0)，...
