3.1.1空间向量的线性运算(建议用时：45分钟)[学业达标]一、选择题1．空间四边形ABCD中，M，G分别是BC，CD的中点，则MG－AB＋AD＝()A．2DBB．3MGC．3GMD．2MG【解析】MG－AB＋AD＝MG＋BD＝MG＋2MG＝3MG.【答案】B2．在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，与向量A′B′的模相等的向量有()【导学号：15460060】A．7个B．3个C．5个D．6个【解析】|D′C′|＝|DC|＝|C′D′|＝|CD|＝|BA|＝|AB|＝|B′A′|＝|A′B′|.【答案】A3．在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，用向量AB，AD，AA1表示向量BD1的结果为()图3110A.BD1＝AB－AD＋AA1B.BD1＝AD＋AA1－ABC.BD1＝AB＋AD－AA1D.BD1＝AB＋AD＋AA1【解析】BD1＝BA＋AA1＋A1D1＝－AB＋AA1＋AD.故选B.【答案】B4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列各式中运算结果为BD1的是()①(A1D1－A1A)－AB；②(BC＋BB1)－D1C1；③(AD－AB)－DD1；④(B1D1－A1A)＋DD1.A．①②B．②③C．③④D．①④【解析】①(A1D1－A1A)－AB＝AD1－AB＝BD1；②(BC＋BB1)－D1C1＝BC1－D1C1＝BD1；1③(AD－AB)－DD1＝BD－DD1≠BD1；④(B1D1－A1A)＋DD1＝BD1＋DD1.【答案】A5．在四面体OABC中，OA＝a，OB＝b，OC＝c，D为BC中点，E为AD的中点，则OE＝()A.a－b＋cB．a－b＋cC.a＋b＋cD.a＋b＋c【解析】OE＝OA＋AE＝OA＋AD＝OA＋×(AB＋AC)＝OA＋(OB－OA＋OC－OA)＝OA＋OB＋OC＝a＋b＋c.【答案】C二、填空题6．下列说法正确的有________(填序号)．①向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；②两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同；③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；④有向线段就是向量，向量就是有向线段．【解析】由平行向量的定义可知①正确；由相等向量定义知②正确；有公共终点的向量的基线不一定平行或重合，故③错误；有向线段是向量的几何表示，有向线段与向量不是同一概念，故④错误．【答案】①②7．化简：(AB－CD)－(AC－BD)＝________.【解析】(AB－CD)－(AC－BD)＝AB－CD－AC＋BD＝(AB＋BD)－(AC＋CD)＝AD－AD＝0.【答案】08．在空间四边形ABCD中，AB＝a－2c，CD＝5a－5b＋8c，对角线AC，BD的中点分别是E，F，则EF＝________.【解析】EF＝(ED＋EB)＝(AD＋CD)＋(AB＋CB)＝AB＋BD＋CD＋AB＋CD＋DB＝(AB＋CD)＝3a－b＋3c.【答案】3a－b＋3c三、解答题9．在长方体ABCDA1B1C1D1中，化简DA－DB＋B1C－B1B＋A1B1－A1B.【解】如图．2DA－DB＋B1C－B1B＋A1B1－A1B＝(DA－DB)＋(B1C－B1B)＋(A1B1－A1B)＝BA＋BC＋BB1＝BD＋BB1＝BD1.10．如图3111，在长、宽、高分别为AB＝3，AD＝2，AA1＝1的长方体ABCDA1B1C1D1的八个顶点的两点为起点和终点的向量中，图3111(1)单位向量共有多少个；(2)试写出模为的所有向量；(3)试写出与AB相等的所有向量；(4)试写出AA1的相反向量．【解】(1)由于长方体的高为1，所以长方体4条高所对应的向量AA1，A1A，BB1，B1B，CC1，C1C，DD1，D1D.共8个向量都是单位向量，而其他向量的模均不为1，故单位向量共8个．(2)由于这个长方体的左右两侧的对角线长均为，故模为的向量有AD1，D1A，A1D，DA1，BC1，C1B，B1C，CB1，共8个．(3)与向量AB相等的所有向量(除它自身之外)共有A1B1，DC及D1C1，共3个．(4)向量AA1的相反向量为A1A，B1B，C1C，D1D，共4个．[能力提升]1．已知λ，μ∈R，给出以下命题：①λ<0，a≠0时，λa与a的方向一定相反；②λ≠0，a≠0时，λa与a是共线向量；③λμ>0，a≠0时，λa与μa的方向一定相同；④λμ<0，a≠0时，λa与μa的方向一定相反．其中正确的个数是()A．1B．2C．3D．4【解析】由数乘的定义及性质可知①②③④均正确．【答案】D2．已知点M是△ABC的重心，并且对空间任意一点O，有OM＝xOA＋OB＋OC，则x的值为()A．1B．0C．3D．【解析】因为M为△ABC的重心，设BC的中点为D，所以OM＝OA＋AD＝OA＋(OD－OA)3＝OA＋·(OB＋OC)＝OA＋OB＋OC，故x＝.【答案】D3．在三棱锥ABCD中，若△BCD是正三角形，E为其中心，则有AB＋BC－DE－AD化简的结果为________.【导学号：15460061】【解析】延长DE交边BC于点F，则AB＋BC＝AF，DE＋AD＝AD＋DF＝AF，故AB＋BC－DE－AD＝0.【答案】04．如图3112所示，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，O是B1D1的中点，若B1C＝xOD＋yOC1，则x，y的值分别为多少？图3112【解】设C1B1＝a，C1D1＝b，C1C＝c，∵四边形B1C1D1A1为平行四边形，∴B1C＝c－a，又O是B1D1的中点，∴C1O＝(a＋b)，∴OC1＝－(a＋b)，OD1＝C1D1－C1O＝b－(a＋b)＝(b－a)．∵D1D綊C1C，∴D1D＝c，∴OD＝OD1＋D1D＝(b－a)＋c.若存在实数x，y，使B1C＝xOD＋yOC1(x，y∈R)成立，则c－a＝x＋y＝－(x＋y)a＋(x－y)b＋xc.∵a，b，c不共线，∴得4
