第3课时圆锥曲线中的最值、范围、定点、定值问题课后篇巩固提升1.已知椭圆C的短轴长为2,左、右焦点为F1、F2.椭圆C上一点与两焦点构成的三角形的周长为2√5+4.(1)求椭圆C的标准方程;(2)设P为椭圆C上一动点,求⃗PF1·⃗PF2的取值范围.解(1)由题意可得{2b=2,a2=b2+c2,2a+2c=2√5+4,解得a=√5,b=1,c=2,故椭圆的方程为x25+y2=1.(2)设P(√5cosθ,sinθ),F1(-2,0),F2(2,0),则⃗PF1=(-2-√5cosθ,-sinθ),⃗PF2=(2-√5cosθ,-sinθ),∴⃗PF1·⃗PF2=5cos2θ-4+sin2θ=-3+4cos2θ.∵0≤cos2θ≤1,∴-3≤-3+4cos2θ≤1,故⃗PF1·⃗PF2的取值范围为[-3,1].2.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为√22,焦点分别为F1,F2,点P是椭圆C上的点,△PF1F2面积的最大值是2.(1)求椭圆C的方程;(2)设直线l与椭圆C交于M,N两点,点D是椭圆C上的点,O是坐标原点,若⃗OM+⃗ON=⃗OD,判定四边形OMDN的面积是否为定值?若为定值,求出定值;如果不是,请说明理由.解(1)由{ca=√22,bc=2,a2=b2+c2,解得a=2,b=c=√2,得椭圆C的方程为x24+y22=1.(2)当直线l的斜率不存在时,直线MN的方程为x=-1或x=1,此时四边形OMDN的面积为√6.当直线l的斜率存在时,设直线l方程是y=kx+m,联立椭圆方程{y=kx+m,x24+y22=1⇒(1+2k2)x2+4kmx+2m2-4=0,Δ=8(4k2+2-m2)>0,x1+x2=-4km1+2k2,x1x2=2m2-41+2k2,y1+y2=k(x1+x2)+2m=2m1+2k2,|MN|=√1+k2×2√2√4k2+2-m21+2k2,1点O到直线MN的距离是d=|m|√1+k2,由⃗OM+⃗ON=⃗OD,得xD=-4km1+2k2,yD=2m1+2k2,因为点D在曲线C上,所以有(-4km1+2k2)24+(2m1+2k2)22=1,整理得1+2k2=2m2.由题意四边形OMDN为平行四边形,所以四边形OMDN的面积为S四边形OMDN=|MN|d=√1+k2×2√2√4k2+2-m21+2k2×|m|√1+k2=2√2|m|√4k2+2-m21+2k2,由1+2k2=2m2得S四边形OMDN=√6,故四边形OMDN的面积是定值,其定值为√6.3.抛物线y2=2px(p>0)与直线y=x+1相切,A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2)是抛物线上两个动点,F为抛物线的焦点,且|AF|+|BF|=8.(1)求p的值.(2)线段AB的垂直平分线l与x轴的交点是否为定点?若是,求出交点坐标;若不是,说明理由.(3)求直线l的斜率的取值范围.解(1)因为抛物线y2=2px(p>0)与直线y=x+1相切,所以由{y2=2px,y=x+1得y2-2py+2p=0(p>0)有两个相等实根,所以Δ=4p2-8p=4p(p-2)=0,解得p=2.(2)抛物线y2=4x的准线x=1.且|AF|+|BF|=8,所以由定义得x1+x2+2=8,则x1+x2=6.设直线AB的垂直平分线l与x轴的交点C(m,0).由C在AB的垂直平分线上,从而|AC|=|BC|,即(x1-m)2+y12=(x2-m)2+y22,所以(x1-m)2-(x2-m)2=y22−y12,即(x1+x2-2m)(x1-x2)=4x2-4x1=-4(x1-x2).因为x1≠x2,所以x1+x2-2m=-4.又因为x1+x2=6,所以m=5.所以点C的坐标为(5,0).即直线AB的垂直平分线l与x轴的交点为定点(5,0).(3)设直线l的斜率为k1,由(2)可设直线l方程为y=k1(x-5).设AB的中点M(x0,y0),由x0=x1+x22=3,可得M(3,y0).因为直线l过点M(3,y0),所以y0=-2k1.又因为点M(3,y0)在抛物线y2=4x的内部,所以y02<12.即4k12<12,则k12<3.因为x1≠x2,则k1≠0.所以k1的取值范围为(-√3,0)∪(0,√3).24.如图所示,A,B分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左右顶点,F为其右焦点,2是|AF|与|FB|的等差中项,√3是|AF|与|FB|的等比中项.点P是椭圆C上异于A,B的任一动点,过点A作直线l⊥x轴.以线段AF为直径的圆交直线AP于点A,M,连接FM交直线l于点Q.(1)求椭圆C的方程;(2)试问在x轴上是否存在一个定点N,使得直线PQ必过该定点N?若存在,求出点N的坐标,若不存在,说明理由.解(1)由题意得|AF|=a+c,|FB|=a-c,即{(a+c)+(a-c)=2,(a+c)·(a-c)=(√3)2,解得a=2,c=1,∴b2=4-1=3.∴所求椭圆的方程为x24+y23=1.(2)假设在x轴上存在一个定点N(n,0),使得直线PD必过定点N(n,0).设动点P(x0,y0),由于P点异于A,B,故y0≠0,x0≠±2,由点P在椭圆上,故有x2a2+y2b2=1,∴y02=3(4-x02)4.①又由(1)知A(-2,0),F(1,0),∴直线AP的斜率kAP=y0x0+2.又点M是以线段AF为直径的圆与直线AP的交点,∴AP⊥FM.∴kAP·kMF=-1⇒kMF=-1kAP=-x0+2y0.∴直线FM的方程y=-x0+2y0(x-1).联立FM,l的方程{y=-x0+2y0,x=-2,3得交点Q(-2,3(x0+2)y0).∴P,Q两点连线的斜率kPQ=y0-3(x0+2)y0x0+2=y02-3(x0+2)y0(x0+2),②将①式代入②式,并整理得kPQ=-3(x0+2)4y0,又P,N两点连线的斜率kPN=y0x0-n.若直线QP必过定点N(n,0),则必有kPQ=kPN恒成立,即-3(x0+2)4y0=y0x0-n,整理得4y02=-3(x0+2)(x0-n),③将①式代入③式,得4×3(4-x02)4=-3(x0+2)(x0-n),解得n=2,故直线PQ过定点(2,0).4
