（江苏专用）高考数学大一轮复习 第二章 第11课 对数的运算要点导学-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

【南方凤凰台】（江苏专用）2016届高考数学大一轮复习第二章第11课对数的运算要点导学要点导学各个击破对数式的计算(2014·泸州模拟)求2lg2-lg125的值.[解答]2lg2-lg125=lg21225=lg100=2.(2014·亳州模拟)计算:2237-2log32×log218+2lg(35+3-5)=.[答案]19[解析]原式=(3323)-3×(-3)+lg(3+5+2(35)(3-5)+3-5)=9+9+lg10=19.指数式与对数式的相互转化已知3a=5b=c,且1a+1b=2,求c的值.[思维引导]由指数与对数的转化关系将a,b都用c来表示,可使问题获解.[解答]由3a=c,得log3c=a,所以logc3=1a.同理可得1b=logc5.由1a+1b=2,得logc3+logc5=2,即logc15=2,所以c2=15.因为c>0,所以c=15.[精要点评]本题的解答过程体现了化归与转化的数学思想,其核心是化生为熟、化难为易、化繁为简.本题就是把不易处理的指数由“高”降“低”,便于进一步计算,这是指数和对数运算经常使用的方法.已知a,b,c均为正数,且3a=4b=6c,求证:2a+1b=2c.[证明]设3a=4b=6c=k,则k>1.由对数定义,得a=log3k,b=log4k,c=log6k,1则2a+1b=32logk+41logk=2logk3+logk4=logk9+logk4=logk36.又2c=62logk=2logk6=logk36,所以2a+1b=2c.已知log189=a,18b=5,求log3645.[解答]因为18b=5log185=b,所以log3645=1818log45log36=1818218log5log918log9=181818log5log92-log9=ab2-a.换底公式的应用(1)计算:(log32+log92)×(log43+log83);(2)已知logax+logcx=2logbx,且x≠1,求证:c2=(acalogb).[思维引导]在这类问题中,对数都不是同底的,因而要用换底公式将它们转化成底数相同的对数进行计算.[解答](1)原式=lg2lg2lg3lg9·lg3lg3lg4lg8=lg2lg2lg32lg3·lg3lg32lg23lg2=3lg22lg3·5lg36lg2=54.(2)因为logax+aalogxlogc=aa2logxlogb,且由x≠1,得logax≠0,所以1+a1logc=a2logb2logac=(logac+1)logablogac2=loga(ac)·logab=loga(acalogb)c2=(acalogb).[精要点评]对数运算必须要解决的一个问题就是化不同底为相同底,从对数的性质出发,将对数的底统一,这是换底公式最有效的应用.1.计算:lg27lg8-3lg10lg1.2=.2[答案]32[解析]原式=313lg33lg2-22lg12-1=33lg33lg2-222lg2lg3-1=32.2.(lg2)2+lg2×lg50+lg25=.[答案]2[解析]原式=lg2(lg2+lg50)+lg25=2lg2+lg25=lg100=2.3.计算:log916×log881=.[答案]83[解析]原式=lg16lg9·lg81lg8=4lg22lg3·4lg33lg2=83.4.计算:lg12-lg58+lg12.5-log89×log34=.[答案]-13[解析]原式=lg1812.525-2lg33lg2·2lg2lg3=1-43=-13.[温馨提醒]趁热打铁,事半功倍.请老师布置同学们完成《配套检测与评估》中的练习(第21-22页).3