伴随矩阵的若干性质及应用摘要矩阵是学习高等代数中的一个非常重要的知识点，而在矩阵的运算和应用中伴随矩阵起着十分重要的作用.本篇文章运用矩阵计算中的一些技巧和方法，证明了一般n阶方阵和某些特殊矩阵的伴随矩阵的一些性质.这些性质的探讨是基于矩阵的伴随矩阵与原矩阵之间的关系，利用研究矩阵的方法来着手.通过这些性质，对矩阵、伴随矩阵有了更深一步地认识.而且，在以后的学习中遇到关于伴随矩阵的问题我们可以直接应用这些性质，使问题变得简单.关键词矩阵伴随矩阵特征值引言因为伴随矩阵是学习矩阵的一个重要知识点，在计算中经常出现，把矩阵的伴随矩阵看作一般的一个矩阵来研究.给出了伴随矩阵的秩、伴随矩阵的转置、伴随矩阵的特征值、几个特殊矩阵的伴随矩阵的性质，以及伴随矩阵的其他性质.这些性质能帮我们方便解决在计算矩阵时遇到的问题.本文出现的矩阵和均为阶方阵.1.一般阶方阵其伴随矩阵的一些性质及应用1.1,在求解与的乘积，和的有关的问题时可以从这个性质着手.常用的关系式如下：当为可逆矩阵时，也为可逆矩阵，由可得；当为可逆矩阵时，由可得；例1、已知为一三阶矩阵，且，求.解经计算可得，所以.例2、已知为一三阶可逆矩阵，它的伴随矩阵为，且，求.1解.例3、已知和均为阶矩阵，相应的伴随矩阵分别为和，分块矩阵，求的伴随矩阵.解由得，.1.2当为可逆矩阵时，有证明因为，；又因为从而，因，故,所以.例4、已知为一三阶可逆矩阵，且，求伴随矩阵的逆矩阵.㈠解因为，且为可逆矩阵，可得，而=8，,所以.㈡本题用性质6可直接得，可见简单之处.1.3（为常数）2证明因为=所以的阶子式中每一个元素都是中的相对应元素的倍，从每一行中提取公因子，从而矩阵中每一元素的阶代数余子式就是.所以==故证之.例5、设为一个3阶矩阵，且已知，求.解因为，所以.1.4伴随矩阵的秩的性质设是阶矩阵,则秩证明当秩时，由于，两边同时取行列式，得3所以故秩.当秩，由从而可知的每一列都是方程组的解向量,故由此可得，又因为至少有一个阶子式不为零，故至少有一个元素不为零，所以此时秩.当秩时，矩阵，所以秩.性质4在解关于矩阵的题目中用的很广泛，以下的性质5、6、9、16的证明过程中都有用到性质4，从而使证明简单、明了.例6、设阶方阵，若秩时，则秩______.A.B.C.D.解因为秩，由以上性质可得秩0，故选D.例7、设为一四阶矩阵，且是的伴随矩阵，求秩.解因为秩，而为4阶矩阵，所以秩，由以上性质可得秩.1.5证明当可逆时，由于，因为，两边同时乘以，得；当不可逆时，，则从而此时也有.例8、已知都是阶方阵，.解.41.6（）证明当，因为所以于是=当由此可得当.例9、已知为阶可逆矩阵,且，化简.解因为，所以，所以1.7证明从而有可得因为矩阵的特征值最多只有有限个，因此存在有无穷多个，使得由得结论可得，，5令则由上式得，因为知有无穷多个但是由于都是多项式，因此式对一切；特别，当令时有故证明之.例10、已知和为三阶可逆矩阵，且，，求.解经计算可得，所以.1.8证明由于所以又因此有当可逆时，则，所以；当不可逆时，则，此时用矩阵，得6因为矩阵的特征值最多只有有限个，因此存在无穷多个使得从而有令，，所以有由此可得存在无穷多个使得上式成立，而都是多项式，因此上式对一切都成立，取代入式时，有.1.9伴随矩阵的特征值设矩阵；当为降秩矩阵时，那么伴随矩阵的个特征值至少有个为0，而且另一个不等于零的特征值若存在，则等于.证明因为为满秩矩阵，所以为可逆矩阵也即，此时矩阵的特征值均不为零，且的个特征值为，再由可得，伴随矩阵有个特征值为；①当秩时，此时，秩，所以因此可推得0,0，…,0为伴随矩阵的特征值此时结论成立.②当秩时，此时，秩，那么设的特征值为7由若尔当标准形知，存在可逆矩阵，使得，其中为的全部特征值因为，不妨设则上式为从而.例11、设为阶可逆矩阵，为的伴随矩阵，为阶单位矩阵，若有特征值，则必有特征值什么?解由性质知，有特征值，必有特征值，从而必有特征值+1.1.10如果是可逆矩阵，且证明因为，则存在可逆矩阵，使得把上式两边同时取行列式得，又由于可逆，故，从而，即也是可逆的，所以，由，则因此因为，则8把两端同时乘以得，所以...
