第五节圆锥曲线的综合问题课时作业练1.(2018江苏启东中学期末)离心率为2,且与椭圆x225+y29=1有共同焦点的双曲线的标准方程是.答案x24-y212=1解析设双曲线的标准方程为x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),由题意得椭圆的焦点为(±4,0),c=4,ca=2,则a=2,则b2=c2-a2=12,则双曲线的标准方程为x24-y212=1.2.(2018盐城田家炳中学期末)若双曲线x2a2-y23=1(a>0)的一条渐近线被圆(x-2)2+y2=4所截得的弦长为2,则该双曲线的实轴长为.答案2解析不妨设双曲线的一条渐近线为√3x-ay=0,易知圆的半径r=2,圆心(2,0)到渐近线的距离d=2√3√3+a2,依题意有(2√3√3+a2)2+1=4,由a>0解得a=1,所以双曲线的实轴长为2a=2.3.设F1、F2分别是椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,若直线x=a2c上存在点P,使线段PF1的中垂线过点F2,则椭圆的离心率的取值范围是.答案[√33,1)1解析设直线x=a2c与x轴的交点为Q,则|PF2|≥|QF2|,易知|F1F2|=|PF2|,所以|F1F2|≥|QF2|,所以a2c-c≤2c,故e2≥13,又00,b>0)的左,右焦点,点P为双曲线C右支上一点,直线PF1与圆x2+y2=a2相切,且|PF2|=|F1F2|,则双曲线C的离心率为.答案53解析设直线PF1与圆相切于点M, |PF2|=|F1F2|,∴△PF1F2为等腰三角形,由此易知|F1M|=14|PF1|. 在Rt△F1MO(O为坐标原点)中,|F1M|2=|F1O|2-a2=c2-a2,∴|F1M|=b=14|PF1|①.又|PF1|=|PF2|+2a=2c+2a②,c2=a2+b2③,故由①②③得e=ca=53.5.(2018常州教育学会学业水平检测高三)在平面直角坐标系xOy中,设直线l:x+y+1=0与双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线都相交且交点都在y轴的左侧,则双曲线C的离心率e的取值范围是.答案(1,√2)解析由题意可得-ba>-1,则ba<1,则离心率e=ca=√1+(ba)2<√2,又双曲线的离心率e>1,故e的取值范围是(1,√2).6.(2018江苏高考信息预测)如图,F1,F2是双曲线E:x24-y22=1与椭圆F的公共焦点,A是它们在第二象限内的交点,且AF1⊥AF2,则椭圆F的离心率为.2答案√32解析设椭圆F的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),易得{|F1F2|=2√6,|AF2|-|AF1|=4,|AF2|+|AF1|=2a,|AF1|2+|AF2|2=|F1F2|2,解得a=2√2,c=√6,所以椭圆F的离心率e=ca=√62√2=√32.7.(2019江苏南京高三模拟)设A,B是椭圆C:x23+y2m=1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB=120°,则m的取值范围是.答案(0,1]∪[9,+∞)解析当03时,椭圆C的长轴在y轴上,如图(2),A(0,√m),B(0,-√m),M(√3,0).图(2)当点M运动到短轴的端点时,∠AMB取得最大值,此时∠AMB≥120°,则|OA|≥3,即√m≥3,即m≥9.综上,m∈(0,1]∪[9,+∞).38.已知O为坐标原点,F是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左焦点,A,B分别为C的左,右顶点.P为C上一点,且PF⊥x轴.过点A的直线l与线段PF交于点M,与y轴交于点E.若直线BM经过OE的中点,则C的离心率为.答案13解析设点M(-c,y0),OE的中点为N,则直线AM的斜率k=y0a-c,从而直线AM的方程为y=y0a-c(x+a),令x=0,得点E的纵坐标yE=ay0a-c.同理,OE的中点N的纵坐标yN=ay0a+c.因为2yN=yE,所以2a+c=1a-c,即2a-2c=a+c,所以e=ca=13.9.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1、F2,离心率为√33,过F2的直线l交C于A、B两点.若△AF1B的周长为4√3,则C的方程为.答案x23+y22=1解析由题意及椭圆的定义知4a=4√3,则a=√3,又ca=c√3=√33,∴c=1,∴b2=2,∴C的方程为x23+y22=1.10.已知椭圆C:x22+y2n=1(00,设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=-8k22k2+n,x1x2=8k2-2n2k2+n,由y1x1-m+y2x2-m=0,得(x1-m)y2+(x2-m)y1=0,即k(x1-m)(x2+2)+k(x2-m)(x1+2)=0.当k≠0时,2...
