2016-2017学年高中数学第3章变化率与导数3计算导数课后演练提升北师大版选修1-1一、选择题(每小题5分，共20分)1．曲线f(x)＝x3在点处的切线的倾斜角为()A．30°B．45°C．60°D．120°解析：∵f′(x)＝3x2，∴f′＝1，即切线的斜率为1，故倾斜角为45°.答案：B2．过曲线y＝上一点P的切线的斜率为－4，则点P的坐标是()A.B．或C.D．解析：y′＝－＝－4，x＝±，P的坐标为或.答案：B3．已知函数f(x)＝，则f′(8)等于()A.B．－C．－D．－2解析：∵f(x)＝x－∴f′(x)＝－x－，∴f′(8)＝－×8－＝－.答案：B4．已知正弦曲线y＝sinx上一点P，以点P为切点的切线为直线l，则直线l的倾斜角的范围是()A.∪B．[0，π)C.D．∪解析：y′＝cosx，其值域为以点P为切点的切线的斜率的取值范围[－1,1]，结合正切函数图像及直线倾斜角取值范围[0，π)，可知本题答案为∪.答案：A二、填空题(每小题5分，共10分)5．曲线y＝ex在点(2，e2)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为________．解析：∵y′＝ex，∴f′(2)＝e2∴切线方程为y－e2＝e2(x－2)．令x＝0，得y＝－e2，令y＝0，得x＝1，∴S△＝×1×e2＝.答案：6．已知函数f(x)＝xm－n的导数为f′(x)＝nx3，则m＋n＝________.解析：∵f(x)＝xm－n，∴f′(x)＝(m－n)xm－n－1.∴解得m＝8，n＝4.∴m＋n＝12.答案：12三、解答题(每小题10分，共20分)17．求曲线y＝与y＝x2在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形的面积．解析：由得交点为(1,1)，而′＝－；(x2)′＝2x，∴斜率分别为：－1和2，∴切线方程为：y－1＝－(x－1)．及y－1＝2(x－1)；令y＝0得与x轴交点为(2,0)及，∴S△＝·×1＝.8．已知曲线方程为y＝x2，求过点B(3,5)且与曲线相切的直线方程．解析：设切点P的坐标为(x0，x)．∵y＝x2，∴y′＝2x，∴k＝f′(x0)＝2x0.∴切线方程为y－x＝2x0(x－x0)．将点B(3,5)代入上式得5－x＝2x0(3－x0)，即5－x＝6x0－2x.∴x－6x0＋5＝0，∴(x0－1)(x0－5)＝0.∴x0＝1或x0＝5.∴切点坐标为(1,1)或(5,25)．∴所求切线方程为y－1＝2×(x－1)或y－25＝10(x－5)，即2x－y－1＝0或10x－y－25＝0.☆☆☆9．(10分)设直线l1与曲线y＝f(x)＝相切于点P，直线l2过点P且垂直于l1，若l2交x轴于Q点，又作PK垂直x轴于点K，求KQ的长．解析：如图，设P(x0，y0)，则kl1＝f′(x0)＝，∵直线l1与l2垂直，则kl2＝－2，∴直线l2的方程为y－y0＝－2(x－x0)∵点P(x0，y0)在曲线y＝上，∴y0＝，在直线l2的方程中令y＝0.则0－＝－2(x－x0)，∴x＝＋x0，即xQ＝＋x0，又xK＝x0，∴|KQ|＝xQ－xK＝＋x0－x0＝.2
