3.2平面与圆柱面的截线A级基础巩固一、选择题1．下列说法不正确的是()A．圆柱面的母线与轴线平行B．圆柱面的某一斜截面的轴面总是垂直于直截面C．圆柱面与斜截面截得的椭圆的离心率与圆柱面半径无关，只与母线和斜线面的夹角有关D．平面截圆柱面的截线椭圆中，短轴长即为圆柱面的半径答案：D2．若平面α与球O相切，切点为M，则()A．经过M点的直线都与球O相切B．不经过M点的直线都与球O相离C．平面α内不经过M点的直线有可能与球O相切D．平面α内经过M点的直线都与球O相切解析：平面α与球O内切于M点，则平面α内经过M点的直线都与球O相切，平面α内不经过M点的直线都与球O相离．答案：D3．已知平面α与一圆柱的母线成60°角，那么该平面与圆柱截口图形的离心率是()A.B．1C.D.解析：因为平面与圆柱截口图形为椭圆，所以其离心率e＝cos60°＝.答案：D4．用与底面成30°角的平面截圆柱得一椭圆截线，则该椭圆的离心率为()A.B.C.D．非上述结论答案：A5．已知半径为2的圆柱面，一平面与圆柱面的轴线成45°角，则截得椭圆的焦距为()A．2B．2C．4D．4解析：由题意得椭圆长半轴a＝＝2，离心率＝cos45°＝，则半焦距c＝a＝2，故焦距2c＝4.答案：C二、填空题6．一平面与半径为3的圆柱面截得椭圆，若椭圆的两焦球球心的距离为10，截面与圆柱面母线的夹角为θ，则cosθ＝________．答案：7．椭圆＋＝1的离心率为，则k的值为________．解析：若a2＝9，b2＝4＋k，则c＝，由＝，即＝，解得k＝－；1若a2＝4＋k，b2＝9，则c＝，由＝，即＝，解得k＝21.答案：－或218．已知椭圆两准线间的距离为8，离心率为，则Dandelin双球的半径是________．解析：由题意知解得所以b＝＝.所以Dandelin球的半径为.答案：三、解答题9．已知一个平面垂直于圆柱的轴，截圆柱所得为半径为2的圆，另一平面与圆柱的轴成30°角，求截线的长轴长，短轴长和离心率．解：由题意可知，椭圆的短轴长2b＝2×2，所以短轴长为4.设长轴长为2a，则有＝sin30°＝.所以2a＝4b＝8，c＝＝2.所以e＝＝＝.所以长轴长为8，短轴长为4，离心率为.10．一动圆与已知圆O1：(x＋3)2＋y2＝1外切，与圆O2：(x－3)2＋y2＝81内切，试求动圆圆心的轨迹方程．解：设动圆圆心为M(x，y)，半径为R，则有：|MO1|＝1＋R，|MO2|＝9－R，所以|MO1|＋|MO2|＝10，由椭圆的定义知：M在以O1、O2为焦点的椭圆上，且a＝5，c＝3，b2＝a2－c2＝25－9＝16，故动圆圆心的轨迹方程为＋＝1.B级能力提升1．设平面π与圆柱的轴的夹角为β(0°<β<90°)，现放入Dandelin双球使之与圆柱面和平面π都相切，若已知Dandelin双球与平面π的两切点的距离恰好等于圆柱的底面直径，则截线椭圆的离心率为()A.B.C.D.解析：Dandelin双球与平面π的切点恰好是椭圆的焦点，圆柱的底面直径恰好等于椭圆的短轴长．因为由题意可知2b＝2c，所以e＝＝＝＝.答案：B2．已知圆柱底面半径为b，平面π与圆柱母线夹角为30°，在圆柱与平面交线上有一点P到一准线l1的距离是b，则点P到另一准线l2对应的焦点F2的距离是________．解析：由题意知，椭圆短轴长为2b，长轴长2a＝＝4b，所以c＝＝b.所以e＝＝或e＝cos30°＝.2设P到F1的距离为d，则＝，所以d＝b.又PF1＋PF2＝2a＝4b，所以PF2＝4b－PF1＝4b－b＝b.答案：b3．设F1，F2分别是椭圆：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，过F1倾斜角为45°的直线l与该椭圆相交于P，Q两点，且|PQ|＝a.(1)求该椭圆的离心率；(2)设点M(0，－1)满足|MP|＝|MQ|，求该椭圆的方程．解：(1)直线PQ斜率为1，设直线l的方程为y＝x＋c，其中c＝，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则P、Q两点坐标满足方程组化简得(a2＋b2)x2＋2a2cx＋a2(c2－b2)＝0，则x1＋x2＝，x1x2＝.所以|PQ|＝|x2－x1|＝＝a，化简，得a＝，故a2＝2b2，所以椭圆的离心率e＝＝＝.(2)设PQ的中点为N(x0，y0)，由(1)知x0＝＝＝－c，y0＝x0＋c＝.由|MP|＝|MQ|，得kMN＝－1，即＝－1，得c＝3，从而a＝3，b＝3.故椭圆的方程为＋＝1.3
