高考数学大二轮复习 专题5 数列 第2讲 综合大题部分真题押题精练 理-人教版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

第2讲综合大题部分1.(2018·高考全国卷Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.(1)求{an}的通项公式；(2)求Sn，并求Sn的最小值．解析：(1)设{an}的公差为d，由题意得3a1＋3d＝－15.由a1＝－7得d＝2.所以{an}的通项公式为an＝a1＋(n－1)d＝2n－9.(2)由(1)得Sn＝·n＝n2－8n＝(n－4)2－16.所以当n＝4时，Sn取得最小值，最小值为－16.2．(2017·高考全国卷Ⅱ)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，等比数列{bn}的前n项和为Tn，a1＝－1，b1＝1，a2＋b2＝2.(1)若a3＋b3＝5，求{bn}的通项公式；(2)若T3＝21，求S3.解析：设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则an＝－1＋(n－1)·d，bn＝qn－1.由a2＋b2＝2得d＋q＝3.①(1)由a3＋b3＝5得2d＋q2＝6.②联立①和②解得(舍去)，因此{bn}的通项公式为bn＝2n－1.(2)由b1＝1，T3＝21得q2＋q－20＝0，解得q＝－5或q＝4.当q＝－5时，由①得d＝8，则S3＝21.当q＝4时，由①得d＝－1，则S3＝－6.3．(2018·高考全国卷Ⅲ)在等比数列{an}中，a1＝1，a5＝4a3.(1)求{an}的通项公式；(2)记Sn为{an}的前n项和．若Sm＝63，求m.解析：(1)设{an}的公比为q，由题设得an＝qn－1.由已知得q4＝4q2，解得q＝0(舍去)，q＝－2或q＝2.故an＝(－2)n－1或an＝2n－1.(2)若an＝(－2)n－1，则Sn＝.由Sm＝63得(－2)m＝－188，此方程没有正整数解．若an＝2n－1，则Sn＝2n－1.由Sm＝63得2m＝64，解得m＝6.综上，m＝6.4．(2018·高考天津卷)设{an}是等差数列，其前n项和为Sn(n∈N*)；{bn}是等比数列，公比大于0，其前n项和为Tn(n∈N*)．已知b1＝1，b3＝b2＋2，b4＝a3＋a5，b5＝a4＋2a6.(1)求Sn和Tn；(2)若Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn，求正整数n的值．解析：(1)设等比数列{bn}的公比为q(q>0)．由b1＝1，b3＝b2＋2，可得q2－q－2＝0.因为q>0，可得q＝2，故bn＝2n－1.所以Tn＝＝2n－1.设等差数列{an}的公差为d.由b4＝a3＋a5，可得a1＋3d＝4.由b5＝a4＋2a6，可得3a1＋13d＝16，从而a1＝1，d＝1，故an＝n，所以Sn＝.(2)由(1)，有T1＋T2＋…＋Tn＝(21＋22＋…＋2n)－n＝－n＝2n＋1－n－2.由Sn＋(T1＋T2＋…＋Tn)＝an＋4bn可得＋2n＋1－n－2＝n＋2n＋1，整理得n2－3n－4＝0，解得n＝－1(舍去)，或n＝4.所以，n的值为4.1.已知首项为2的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＋1＝3Sn－2Sn－1(n≥2，n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bn}的前n项和Tn.解析：(1)因为Sn＋1＝3Sn－2Sn－1(n≥2)，所以Sn＋1－Sn＝2Sn－2Sn－1(n≥2)，即an＋1＝2an(n≥2)，所以an＋1＝2n＋1，则an＝2n，当n＝1时，也满足，故数列{an}的通项公式为an＝2n.(2)因为bn＝＝(n＋1)()n，所以Tn＝2×＋3×()2＋4×()3＋…＋(n＋1)×()n，①Tn＝2×()2＋3×()3＋4×()4＋…＋n×()n＋(n＋1)×()n＋1，②①－②得Tn＝2×＋()2＋()3＋…＋()n－(n＋1)()n＋1＝＋()1＋()2＋()3＋…＋()n－(n＋1)()n＋1＝＋－(n＋1)()n＋1＝＋1－()n－(n＋1)()n＋1＝－.故数列{bn}的前n项和为Tn＝3－.2．已知数列{an}满足a1＋4a2＋42a3＋…＋4n－1an＝(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝，求数列{bnbn＋1}的前n项和Tn.解析：(1)当n＝1时，a1＝.因为a1＋4a2＋42a3＋…＋4n－2an－1＋4n－1an＝，①所以a1＋4a2＋42a3＋…＋4n－2an－1＝(n≥2，n∈N*)，②①－②，得4n－1an＝(n≥2，n∈N*)，所以an＝(n≥2，n∈N*)．由于a1＝，故an＝(n∈N*)．(2)由(1)得bn＝＝，所以bnbn＋1＝＝(－)，故Tn＝×(－＋－＋…＋－)＝×(－)＝.3．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，n∈N*，且a2＝3，S5＝25.(1)求数列{an}的通项公式；(2)若数列{bn}满足bn＝，记数列{bn}的前n项和为Tn，证明：Tn<1.解析：(1)设等差数列{an}的公差为d.因为a2＝3，S5＝25，所以解得所以an＝2n－1.(2)由(1)知，an＝2n－1，所以Sn＝＝n2.所以bn＝＝＝－.所以Tn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－<1.4．在数列{an}中，a1＝5，an＋1＝4an－3.令bn＝log4(an－1)，n∈N*.(1)求证：数列{bn}是等差数列，并求{bn}的通项公式；(2)记数列{bn}的前n项和为Sn，若不等式(－1)nkbn<2Sn＋n＋4对所有的正奇数n都成立，求实数k的取值范围．解析：(1)因为bn＋1...