第三节二项式定理课时作业练1.若(3x+1√x)n的展开式中各项系数和为1024,试确定展开式中的有理项.解析令x=1,则22n=1024,解得n=5.则展开式的通项为Tr+1=C5r(3x)5-r(1√x)r=C5r·35-r·x10-3r2,有理项需使10-3r2为整数,则r=0,r=2,r=4,有3项,即T1=243x5,T3=270x2,T5=15x-1.2.已知(√x-2x2)n(x∈N*)的展开式中第五项的系数与第三项的系数之比是10∶1.(1)求展开式中各项系数的和;(2)求展开式中含x32的项.解析(1)(√x-2x2)n(x∈N*)的展开式的通项为Tk+1=Cnkxn-k2·(-2)kx-2k=(-2)kCnkxn-5k2,由(-2)4Cn4(-2)2Cn2=10,解得n=8(n=-3舍去).令x=1,得展开式中各项系数之和为(1-2)8=1.(2)通项Tk+1=C8k·(√x)8-k·(-2x2)k=C8k·(-2)k·x8-5k2,令8-5k2=32,则k=1,故展开式中含x32的项为T2=-16x32.13.在二项式(2x-3y)9的展开式中,求:(1)各项的二项式系数之和;(2)各项系数之和;(3)所有奇数项系数之和.解析设(2x-3y)9=a0x9+a1x8y+a2x7y2+…+a9y9.(1)各项的二项式系数之和为C90+C91+C92+…+C99=29.(2)令x=1,y=1,得各项系数之和为a0+a1+a2+…+a9=(2-3)9=-1.(3)由(2)知a0+a1+a2+…+a9=-1,令x=1,y=-1,得a0-a1+a2-…-a9=59,将两式相加,得a0+a2+a4+a6+a8=59-12,此亦为所有奇数项系数之和.4.(2019江苏泰州模拟)已知(3√x+x2)2n的展开式中各项系数和比(3x-1)n的展开式中各项系数和大992,求(2x-1x)2n的展开式中:(1)二项式系数最大的项;(2)系数的绝对值最大的项.解析由题意得22n-2n=992,解得n=5.(1)(2x-1x)10的展开式中第6项的二项式系数最大,即T6=T5+1=C105·(2x)5·(-1x)5=-8064.(2)设第(r+1)项的系数的绝对值最大,2则Tr+1=C10r·(2x)10-r·(-1x)r=(-1)r·C10r·210-r·x10-2r,故{C10r·210-r≥C10r-1·210-r+1,C10r·210-r≥C10r+1·210-r-1,得{C10r≥2C10r-1,2C10r≥C10r+1,即{11-r≥2r,2(r+1)≥10-r,∴83≤r≤113,∴r=3,故系数的绝对值最大的项是第4项.T4=C103(2x)7(-1x)3=-15360x4.5.(2018南通高三调研)已知(1+x)2n+1=a0+a1x+a2x2+…+a2n+1x2n+1,n∈N*,记Tn=∑k=0n(2k+1)an-k.(1)求T2的值;(2)化简Tn的表达式,并证明对任意的n∈N*,Tn都能被4n+2整除.解析由二项式定理,得ai=C2n+1i(i=0,1,2,…,2n+1).(1)T2=a2+3a1+5a0=C52+3C51+5C50=30.(2)因为(n+1+k)C2n+1n+1+k=(n+1+k)·(2n+1)!(n+1+k)!(n-k)!=(2n+1)·(2n)!(n+k)!(n-k)!=(2n+1)C2nn+k,所以Tn=∑k=0n(2k+1)an-k=∑k=0n(2k+1)C2n+1n-k=∑k=0n(2k+1)C2n+1n+1+k=∑k=0n[2(n+1+k)-(2n+1)]C2n+1n+1+k=2∑k=0n(n+1+k)C2n+1n+1+k-(2n+1)∑k=0nC2n+1n+1+k¿2(2n+1)∑k=0nC2nn+k-(2n+1)∑k=0nC2n+1n+1+k=2(2n+1)·12·(22n+C2nn)-(2n+1)·12·22n+1=(2n+1)C2nn,Tn=(2n+1)C2nn=(2n+1)(C2n-1n-1+C2n-1n)3=2(2n+1)C2n-1n.又因为C2n-1n∈N*,所以Tn能被4n+2整除.6.(2019南京师大附中高三模拟)设集合A,B是非空集合M的两个不同子集.(1)若M={a1,a2},且A是B的子集,求所有有序集合对(A,B)的个数;(2)若M={a1,a2,a3,…,an},且A的元素个数比B的元素个数少,求所有有序集合对(A,B)的个数.解析(1)若集合B中含有2个元素,即B={a1,a2},则A=,{a⌀1},{a2},则(A,B)的个数为3;若集合B中含有1个元素,则B有C21种结果,不妨设B={a1},则A=,⌀此时(A,B)的个数为C21×1=2,综上,(A,B)的个数为5.(2)集合M有2n个子集,又集合A,B是非空集合M的两个不同子集,则不同的有序集合对(A,B)的个数为2n(2n-1).若A的元素个数与B的元素个数一样多,则不同的有序集合对(A,B)的个数为Cn0(Cn0-1)+Cn1(Cn1-1)+Cn2(Cn2-1)+…+Cnn(Cnn-1)=(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+…+(Cnn)2-(Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn).又(x+1)n(x+1)n的展开式中xn的系数为(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+…+(Cnn)2,且(x+1)n(x+1)n=(x+1)2n的展开式中xn的系数为C2nn,所以(Cn0)2+(Cn1)2+(Cn2)2+…+(Cnn)2=C2nn.因为Cn0+Cn1+Cn2+…+Cnn=2n,所以当A的元素个数与B的元素个数一样多时,有序集合对(A,B)的个数为C2n2-2n.4所以当A的元素个数比B的元素个数少时,有序集合对(A,B)的个数为2n(2n-1)-(C2nn-2n)2=22n-C2nn2.基础滚动练(滚动循环夯实基础)1.(2018南京师大附中高三模拟)某公司生产甲、乙、丙三种不同型号的轿车,产量分别为1400辆、5600辆、2000辆.为检验产品的质量,现用分层抽...
