高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2 第1课时 空间向量与平行、垂直关系练习 新人教A版选修2-1-新人教A版高二选修2-1数学试题VIP免费

3.2第1课时空间向量与平行、垂直关系[A基础达标]1．已知a＝，b＝分别是直线l1，l2的一个方向向量．若l1∥l2，则()A．x＝3，y＝B．x＝，y＝C．x＝3，y＝15D.x＝3，y＝解析：选D.因为l1∥l2，所以＝＝，所以x＝3，y＝，故选D.2．直线l的一个方向向量和平面β的一个法向量分别是m＝(－1，1，3)，n＝，则直线l与平面β的位置关系是()A．l∥βB．l⊥βC．l∥β或l⊂βD.无法判断解析：选C.因为m·n＝－＋0＋＝0，所以m⊥n.所以l∥β或l⊂β.3．设直线l的方向向量u＝(－2，2，t)，平面α的一个法向量v＝(6，－6，12)，若直线l⊥平面α，则实数t等于()A．4B．－4C．2D.－2解析：选B.因为直线l⊥平面α，所以u∥v，则＝＝，解得t＝－4，故选B.4．已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是()A．(1，－1，1)B.C.D.解析：选B.要判断点P是否在平面α内，只需判断向量PA与平面α的法向量n是否垂直，即PA·n是否为0，因此，要对各个选项进行检验．对于选项A，PA＝(1，0，1)，则PA·n＝(1，0，1)·(3，1，2)＝5≠0，故排除A；对于选项B，PA＝，则PA·n＝·(3，1，2)＝0，故B正确；同理可排除C，D.故选B.5．如图，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为正方形，E是CD的中点，F是AD上一点，当BF⊥PE时，AF∶FD的值为()A．1∶2B．1∶1C．3∶1D.2∶1解析：选B.建立如图所示的空间直角坐标系，设正方形边长为1，PA＝a，则B(1，0，0)，E，P(0，0，a)．设点F的坐标为(0，y，0)，1则BF＝(－1，y，0)，PE＝.因为BF⊥PE，所以BF·PE＝0，解得y＝，即点F的坐标为，所以F为AD的中点，所以AF∶FD＝1∶1.6．已知平面α的一个法向量a＝(x，1，－2)，平面β的一个法向量b＝，若α⊥β，则x－y＝________．解析：因为α⊥β，所以a⊥b，所以－x＋y－1＝0，得x－y＝－1.答案：－17．已知点P是平行四边形ABCD所在平面外一点，如果AB＝(2，－1，－4)，AD＝(4，2，0)，AP＝(－1，2，－1)．给出下列结论：①AP⊥AB；②AP⊥AD；③AP是平面ABCD的一个法向量．其中正确的是________(填序号)．解析：AB·AP＝2×(－1)＋(－1)×2＋(－4)×(－1)＝－2－2＋4＝0，则AB⊥AP，则AB⊥AP.AD·AP＝4×(－1)＋2×2＋0＝0，则AP⊥AD，则AP⊥AD.又AB∩AD＝A，所以AP⊥平面ABCD，故AP是平面ABCD的一个法向量．答案：①②③8．已知AB＝(1，5，－2)，BC＝(3，1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则BP＝________．解析：因为AB⊥BC，所以AB·BC＝0，所以3＋5－2z＝0，所以z＝4.因为BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，所以即解得故BP＝.答案：9．已知正三棱柱ABCA1B1C1的各棱长都为1，M是底面上BC边的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN＝CC1.求证：AB1⊥MN.证明：设AB中点为O，作OO1∥AA1.以O为坐标原点，OB所在直线为x轴，OC所在直线为y轴，OO1所在直线为z轴建立如图所示的空间直角坐标系．由已知得A，B，C，N，B1，M.所以MN＝，AB1＝(1，0，1)，所以MN·AB1＝－＋0＋＝0.2所以MN⊥AB1，所以AB1⊥MN.10．如图所示，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是BB1、D1B1的中点．求证：EF⊥平面B1AC.证明：设正方体的棱长为2a，建立如图所示的空间直角坐标系．则A(2a，0，0)，C(0，2a，0)，B1(2a，2a，2a)，E(2a，2a，a)，F(a，a，2a)．所以EF＝(a，a，2a)－(2a，2a，a)＝(－a，－a，a)，AB1＝(2a，2a，2a)－(2a，0，0)＝(0，2a，2a)，AC＝(0，2a，0)－(2a，0，0)＝(－2a，2a，0)．因为EF·AB1＝(－a，－a，a)·(0，2a，2a)＝(－a)×0＋(－a)×2a＋a×2a＝0，EF·AC＝(－a，－a，a)·(－2a，2a，0)＝2a2－2a2＋0＝0，所以EF⊥AB1，EF⊥AC.又AB1∩AC＝A，所以EF⊥平面B1AC.[B能力提升]11．如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，M，N，P分别是AD1，BD和B1C的中点，利用向量法证明：(1)MN∥平面CC1D1D；(2)平面MNP∥平面CC1D1D.证明：(1)以D为坐标原点，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴的正方向，建立空间直角坐标系(图略)，并设正方体的棱长为2，则A(2，0，0)，D(0，0，0)，M(1，0，1)，N(1，1，0)，P(1，2，1)．由正方体的性质知AD⊥平面CC1D1D，所以DA＝(2，0，0)为平面CC1D1D的一个法向量．由于MN＝...