2.4.1抛物线及其标准方程(建议用时：40分钟)一、选择题1．准线与x轴垂直，且经过点(1，－)的抛物线的标准方程是()A．y2＝－2xB．y2＝2xC．x2＝2yD．x2＝－2y【答案】B[由题意可设抛物线的标准方程为y2＝ax，则(－)2＝a，解得a＝2，因此抛物线的标准方程为y2＝2x，故选B．]2．已知抛物线的顶点在原点，对称轴为x轴，焦点在双曲线－＝1上，则抛物线的方程为()A．y2＝8xB．y2＝4xC．y2＝2xD．y2＝±8x【答案】D[由题意抛物线的焦点坐标为(2,0)或(－2,0)，因此抛物线方程为y2＝±8x.]3．设抛物线y2＝8x上一点P到y轴的距离是4，则点P到该抛物线焦点的距离是()A．4B．6C．8D．12【答案】B[抛物线y2＝8x的准线方程为x＝－2，则点P到准线的距离为6，即点P到抛物线焦点的距离是6.]4．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－B．－1C．－D．－【答案】C[抛物线的准线方程为x＝－2，则焦点为F(2,0)．从而kAF＝＝－.]5．如图242，南北方向的公路l，A地在公路正东2km处，B地在A东偏北30°方向2km处，河流沿岸曲线PQ上任意一点到公路l和到A地距离相等．现要在曲线PQ上建一座码头，向A、B两地运货物，经测算，从M到A、到B修建费用都为a万元/km，那么，修建这条公路的总费用最低是()万元．图242A．(2＋)aB．2(＋1)aC．5aD．6a【答案】C[依题意知曲线PQ是以A为焦点、l为准线的抛物线，根据抛物线的定义知：欲求从M到A，B修建公路的费用最低，只须求出B到直线l距离即可，因B地在A地东偏北30°方向2km处，∴B到点A的水平距离为3(km)，基础篇1∴B到直线l距离为：3＋2＝5(km)，那么修建这两条公路的总费用最低为：5a(万元)，故选C．]二、填空题6．抛物线y＝2x2的准线方程为________．【答案】y＝－[化方程为标准方程为x2＝y，故＝，开口向上，∴准线方程为y＝－.]7．抛物线y＝－x2上的动点M到两定点F(0，－1)，E(1，－3)的距离之和的最小值为________．【答案】4[抛物线标准方程为x2＝－4y，其焦点坐标为(0，－1)，准线方程为y＝1，则|MF|的长度等于点M到准线y＝1的距离，从而点M到两定点F，E的距离之和的最小值为点E(1，－3)到直线y＝1的距离．即最小值为4.]8．对于标准形式的抛物线，给出下列条件：①焦点在y轴上；②焦点在x轴上；③抛物线上横坐标为1的点到焦点的距离等于6；④由原点向过焦点的某直线作垂线，垂足坐标为(2,1)．其中满足抛物线方程为y2＝10x的是________．(要求填写适合条件的序号)【答案】②④[抛物线y2＝10x的焦点在x轴上，②满足，①不满足；设M(1，y0)是y2＝10x上的一点，则|MF|＝1＋＝1＋＝≠6，所以③不满足；由于抛物线y2＝10x的焦点为，过该焦点的直线方程为y＝k，若由原点向该直线作垂线，垂足为(2,1)时，则k＝－2，此时存在，所以④满足．]三、解答题9．设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，求k的值．【答案】根据抛物线的方程求出焦点坐标，利用PF⊥x轴，知点P，F的横坐标相等，再根据点P在曲线y＝上求出k. y2＝4x，∴F(1,0)．又 曲线y＝(k＞0)与C交于点P，PF⊥x轴，∴P(1,2)．将点P(1,2)的坐标代入y＝(k＞0)得k＝2.10．如图243是抛物线形拱桥，设水面宽|AB|＝18米，拱顶距离水面8米，一货船在水面上的部分的横断面为一矩形CDEF.若|CD|＝9米，那么|DE|不超过多少米才能使货船通过拱桥？图243【答案】如图所示，以点O为原点，过点O且平行于AB的直线为x轴，线段AB的垂直平分线为y轴建立平面直角坐标系，则B(9，－8)．设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)． B点在抛物线上，∴81＝－2p·(－8)，∴p＝，∴抛物线的方程为x2＝－y.2当x＝时，y＝－2，即|DE|＝8－2＝6.∴|DE|不超过6米才能使货船通过拱桥．1．已知P为抛物线y2＝4x上的一个动点，直线l1：x＝－1，l2：x＋y＋3＝0，则P到直线l1，l2的距离之和的最小值为()A．2B．4C．D．＋1【答案】A[将P点到直线l1：x＝－1的距离转化为点P到焦点F(1,0)的距离，过点F作直线l2的垂线，交抛物线于点P，此即为所求最小值点，∴P到两直线的距离之和的最小值为＝2，故选A．]2．已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p>0)的焦点到双曲线C1的渐...
