3.1二维形式的柯西不等式自我小测1．函数y＝2＋的最大值是()A．3B．C．D．42．已知x，y＞0，且xy＝1，则的最小值为()A．4B．2C．1D.3．已知2x2＋y2＝1，则2x＋y的最大值是()A．B．2C．D．34．若x2＋y2＝8，则2x＋y的最大值为()A．8B．4C．2D．55．若a＋b＝1，则2＋2的最小值为()A．1B．2C．D．6．设xy＞0，则·的最小值为________．7．设实数x，y满足3x2＋2y2≤6，则2x＋y的最大值为________．8．函数y＝3＋4的最大值为__________．9．已知θ为锐角，a，b＞0，求证：(a＋b)2≤＋.10．在半径为R的圆内，求周长最大的内接长方形．1参考答案1．解析：y2＝2≤[22＋()2]＝6×＝3，当且仅当2＝·，即x＝时等号成立．∴y的最大值为.答案：C2．解析：＝≥2＝2＝22＝4，当且仅当x＝y＝1时等号成立．答案：A3．解析：2x＋y＝×x＋1×y≤×＝×＝，当且仅当y＝x，即x＝y＝时等号成立，即2x＋y取到最大值.答案：C4．解析：(x2＋y2)·(4＋1)≥(2x＋y)2，∴(2x＋y)2≤8×5＝40，当且仅当x＝2y时，等号成立，即(2x＋y)max＝2.答案：C5．解析：2＋2＝a2＋2＋＋b2＋2＋，∵a＋b＝1，∴a2＋b2＝(a2＋b2)·(1＋1)≥·(a＋b)2＝，又＋≥≥＝8，以上两个不等式都是当且仅当a＝b＝时，等号成立．∴2＋2≥＋2＋2＋8＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，取到最小值.答案：C6．解析：原式＝≥2＝9.当且仅当xy＝时等号成立，即所求最小值为9.答案：97．解析：由柯西不等式得(2x＋y)2≤[(x)2＋(y)2]·＝(3x2＋2y2)·≤6×＝11.当且仅当3x＝4y，即x＝，y＝时等号成立．因此2x＋y的最大值为.答案：8．解析：∵y2＝(3＋4)2≤(32＋42)[()2＋()2]＝25(x－5＋6－x)＝25，当且仅当3＝4，即x＝时等号成立．2∴函数y的最大值为5.答案：59．证明：设m＝，n＝(cosθ，sinθ)，则|a＋b|＝＝|m·n|≤|m||n|＝·＝，当且仅当a＝kcos2θ，b＝ksin2θ，k∈R时等号成立．∴(a＋b)2≤＋.10．答案：解：如图，设内接长方形ABCD的长为x，则宽为224Rx，于是长方形ABCD的周长222(4)lxRx222(114)xRx．由柯西不等式得11222222222[(4)](11)lxRx§22242RR.当且仅当22411xRx，即2xR时等号成立．此时，22224=4(2)2RxRRR.即长方形ABCD为正方形，故周长最大的内接长方形为正方形，其周长为42R.3
