3.3排序不等式自主广场我夯基我达标1.已知a,b,c∈R+，则a3+b3+c3与a2b+b2c+c2a的大小关系是()A.a3+b3+c3>a2b+b2c+c2aB.a3+b3+c3≥a2b+b2c+c2aC.a3+b3+c3
0.可知an-1≥an-1-1≥…≥a1-1，由排序原理，得a1b1-1+a2b2-1+…+anbn-1≥aa11-1+a2a2-1+…+anan-1≥n.答案：B3.已知a,b,c∈R+,则a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)的正负情况是()A.大于零B.大于等于零C.小于零D.小于等于零思路解析：设a≥b≥c>0，所以a3≥b3≥c3,根据排序原理，得a3·a+b3×b+c3×c≥a3b+b3c+c3a.又知ab≥ac≥bc,a2≥b2≥c2,所以a3b+b3c+c3a≥a2bc+b2ca+c2ab.∴a4+b4+c4≥a2bc+b2ca+c2ab.即a2(a2-bc)+b2(b2-ac)+c2(c2-ab)≥0.答案：B4.已知a,b,c都是正数，则bacacbcba≥__________.思路解析：设a≥b≥c≥0，所以baaccb111,由排序原理,知abaacccbbbacacbcba,①babacacbcbacacbcba,②①+②，得23bacacbcba.答案：235.设a,b,c都是正数，求证：a+b+c≤abccba444.证明：由题意不妨设a≥b≥c>0.由不等式的性质，知a2≥b2≥c2,ab≥ac≥bc.1根据排序原理，得a2bc+ab2c+abc2≤a3c+b3a+c3b.①又由不等式的性质，知a3≥b3≥c3,且a≥b≥c.再根据排序原理，得a3c+b3a+c3b≤a4+b4+c4.②由①②及不等式的传递性，得a2bc+ab2c+abc2≤a4+b4+c4.两边同除以abc得证不等式成立.6.设a,b,c∈R+,求证：a1+b1+c1≤333888cbacba.证明：设a≥b≥c>0.由不等式的单调性，知c1≥b1≥a1,而333333111baaccb.由不等式的性质，知a5≥b5≥c5.根据排序原理，知323232335335335335335335bcabcacbcbabacabacacbcba.又由不等式的性质，知a2≥b2≥c2,333111cbc.由排序原理，得cbaccbbaabcabca111323232323232.由不等式的传递性，知a1+b1+c1≤333888335335335cbacbabacacbcba.∴原不等式成立.我综合我发展7.设a,b,c为某三角形三边长，求证：a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤3abc.证明：不妨设a≥b≥c.易证a(b+c-a)≤b(c+a-b)≤c(a+b-c).根据排序原理，得a2(b+c-a)+b2(c+a-b)+c2(a+b-c)≤a×b(c+a-b)+b×c(a+b-c)+c×a(b+c-a)≤3abc.8.设x1≥x2≥…≥xn,y1≥y2≥…≥yn.求证：niiiyx12)(≤niiizx12)(.其中z1,z2,…,zn是y1,y2,…,yn的任意一个排列.证明：要证niiiniiizxyx1212)()(2只需证niiiniiiniiiniiizxzxyxyx11221122)2()()2()(.只要证niiiniiizxyx11.由题设及排序原理知上式显然成立.9.设a,b,c是正实数，求证：aabbcc≥(abc)3cba.证明：不妨设a≥b≥c>0,则lga≥lgb≥lgc,据排序不等式，有alga+blgb+clgc≥blga+clgb+algc;alga+blgb+clgc≥clga+algb+blgc.且alga+blgb+clgc=alga+blgb+clgc,以上三式相加整理,得3(alga+blgb+clgc)≥(a+b+c)(lga+lgb+lgc),即lg(aabbcc)≥3cba·lg(abc).故aabbcc≥(abc)3cba.3
