高考数学大一轮总复习 第五章 数列 计时双基练32 数列的通项 理 北师大版-北师大版高三全册数学试题VIP专享VIP免费

计时双基练三十二数列的通项A组基础必做1．在数列{an}中，若a1＝1，a2＝，＝＋(n∈N*)，则该数列的通项为()A．an＝B．an＝C．an＝D．an＝解析由已知式＝＋可得－＝－，知是首项为＝1，公差为－＝2－1＝1的等差数列，所以＝n，即an＝。答案A2．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N*)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21为()A．5B.C.D.解析 an＋an＋1＝，a2＝2，∴an＝∴S21＝11×＋10×2＝。故选B。答案B3．若正项数列{an}满足lgan＋1＝1＋lgan，且a2001＋a2002＋a2003＋…＋a2010＝2016，则a2011＋a2012＋a2013＋…＋a2020的值为()A．2016×1010B．2016×1011C．2017×1010D．2017×1011解析由条件知lgan＋1－lgan＝lg＝1，即＝10，所以{an}是公比为10的等比数列。因为(a2001＋…＋a2010)·q10＝a2011＋…＋a2020，所以a2011＋…＋a2020＝2016×1010，选A。答案A4．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1an＝2n(n∈N*)，则a10等于()A．64B．32C．16D．8解析因为an＋1an＝2n，所以an＋1an＋2＝2n＋1，两式相除得＝2。又a1a2＝2，a1＝1，所以a2＝2，则···＝24，即a10＝25＝32。答案B5．(2015·辽宁大连双基)数列{an}满足an－an＋1＝an·an＋1(n∈N*)，数列{bn}满足bn＝，且b1＋b2＋…＋b9＝90，则b4·b6()A．最大值为99B．为定值99C．最大值为100D．最大值为200解析将an－an＋1＝anan＋1两边同时除以anan＋1，可得－＝1，即bn＋1－bn＝1，所以{bn}是公差为d＝1的等差数列，其前9项和为＝90，所以b1＋b9＝20，将b9＝b1＋8d＝b1＋8，代入得b1＝6，所以b4＝9，b6＝11，所以b4b6＝99，选B。答案B6．在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋ln，则an＝()A．2＋lnnB．2＋(n－1)lnnC．2＋nlnnD．1＋n＋lnn解析由已知得an＋1－an＝ln(n＋1)－lnn，所以a2－a1＝ln2－ln1，a3－a2＝ln3－ln2，a4－a3＝ln4－ln3，…，an－an－1＝lnn－ln(n－1)，以上n－1个式子左右分别相加，得an－a1＝lnn，所以an＝2＋lnn。故选A。答案A7．已知a1＝1，an＝n(an＋1－an)(n∈N*)，则数列{an}的通项公式是()A．2n－1B.n－1C．n2D．n解析 an＝n(an＋1－an)，∴＝，∴an＝×××…×××a1＝×××…×××1＝n。答案D8．已知a1＝1，an＋1＝3an＋1，则{an}的通项公式an＝________。解析由an＋1＝3an＋1，得an＋1＋＝3，则是以为首项，公比为3的等比数列，则an＋＝×3n－1，an＝－。答案－9．(2015·贵州贵阳监测)已知数列{an}满足a1＝2，an＋1＝(n∈N*)，则该数列的前2015项的乘积a1·a2·a3·…·a2015＝________。解析 a2＝＝－3，a3＝＝－，a4＝＝，a5＝＝2＝a1，∴数列{an}是以4为周期的数列，而2015＝4×503＋3，∴前2015项乘积为a1a2a3＝3。答案310．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn＋1＝4an＋2。(1)设bn＝an＋1－2an，证明：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式。解(1)证明：由a1＝1及Sn＋1＝4an＋2，有a1＋a2＝S2＝4a1＋2。∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3。又①－②，得an＋1＝4an－4an－1，∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)。 bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1，故{bn}是首项b1＝3，公比为2的等比数列。(2)由(1)知bn＝an＋1－2an＝3·2n－1，∴－＝，故是首项为，公差为的等差数列。∴＝＋(n－1)·＝，得an＝(3n－1)·2n－2。11．已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝。(1)求an；(2)设数列{bn}的前n项和为Sn，且bn·＝1，求证：≤Sn<1。解(1)由已知得an≠0，则由an＋1＝，得＝，即－＝，而＝2，∴是以2为首项，以为公差的等差数列。∴＝2＋(n－1)＝，∴an＝。(2)证明： bn·＝1，则由(1)得bn＝，∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn＝＋＋＋…＋＝1－关于n单调递增，∴≤Sn<1。B组培优演练1．(2015·河北保定重点中学联考)已知数列{an}满足a1＝15，＝2，则的最小值为()A．7B．2－1C．9D.解析 an＋1－an＝2n，∴a2－a1＝2×1，a3－a2＝2×2，…，an－an－1＝2(n－1)，将以上n－1个式子相加，得an－a1＝2(1＋2＋3＋…＋n－1)＝＝n2－n，∴an＝n2－n＋15，∴＝n＋－1，令g(x)＝x＋－1，g′(x)＝1－＝，当x∈[0,3]时，g′(x)<0，当x∈[4，＋∞)时，g′(x)>0，g(3)＝3＋5－1＝7，g(4)＝4＋－1＝，故最小值为，故选D。答案D2．设{an}是...