2.3.2抛物线的简单几何性质课时跟踪检测一、选择题1．过点(2,4)作与抛物线y2＝8x只有一个公共点的直线有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析： 点(2,4)在抛物线上，∴与抛物线只有一个公共点的直线有2条，即一条与抛物线相切，另一条与对称轴平行．故选B.答案：B2．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为()A．－B．－1C．－D．－解析： A(－2,3)在y2＝2px的准线x＝－上，∴－＝－2，∴p＝4.∴y2＝2px的焦点F(2,0)，∴kAF＝＝－.故选C.答案：C3．(2019·衡水月考)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，点P在抛物线C上，以PF为半径的圆P与y轴交于A，B两点，O为坐标原点，若OB＝7OA，则圆P的半径r＝()A．2B．3C．4D．5解析：设P(a，b)，则4a＝b2，F(1,0)，r＝|PF|＝a＋1，则圆P的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝(a＋1)2，令x＝0，则y2－2by＋b2－2a－1＝0，∴y1y2＝b2－2a－1，y1＋y2＝2b.设A(0，y1)，B(0，y2)， OB＝7OA，∴y2＝7y1.又y1＋y2＝2b，y1y2＝b2－2a－1，∴y1＝，y2＝，∴∴a＝4，∴r＝5，故选D.答案：D4．(2019·甘谷一中期中)过抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线C于A，B两点．若|AF|＝6，|BF|＝3，则p的值为()A．2B．4C．8D．4解析：如图所示，A，B在准线l上的射影分别为A′，B′.1作BN⊥AA′于N，则|AF|＝|AA′|＝6，|BF|＝|BB′|＝3，∴|AN|＝|AA′|－|BB′|＝3，∴cos∠NAB＝，∴tan∠NAB＝2，∴kAB＝2，设AB的方程为y＝2，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得4x2－5px＋p2＝0，∴x1＋x2＝，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋p＝＝9，∴p＝4.故选B.答案：B5．设直线l与抛物线y2＝4x相交于A，B两点，与圆(x－5)2＋y2＝r2(r>0)相切于点M，且M为线段AB的中点，若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是()A．(1,3)B．(1,4)C．(2,3)D．(2,4)解析：当直线l的斜率不存在且00)的准线经过双曲线x2－y2＝1的左顶点，则p＝________.解析：抛物线y2＝2px(p>0)的准线方程为x＝－，双曲线x2－y2＝1的左顶点为(－1,0)，由题意得－＝－1，∴p＝2.答案：28．过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交该抛物线于A，B两点．若|AF|＝3，则|BF|＝________.解析：如图所示．过点A作AA′垂直准线，交准线于A′，过点B作BB′垂直准线，交准线于B′，∴|AF|＝|AA′|＝3，又F(1,0)，∴A(2,2)．∴AB的方程为y＝2(x－1)，代入y2＝4x，得2x2－5x＋2＝0，解得x＝2或x＝，∴|BF|＝＋1＝.答案：9．(2019·北京西城模拟)已知点A(2,1)，抛物线y2＝4x的焦点为F，若抛物线上存在一点P，使得|PA|＋|PF|最小，则最小值为________；此时P点的坐标为________．解析： 12<8，∴A在抛物线内部．设P到准线的距离为d，∴|PA|＋|PF|＝d＋|PA|≥2＋1＝3，即当y＝1，x＝＝时，|PA|＋|PF|的值最小，∴|PA|＋|PF|的最小值为3，P点的坐标为.答案：3三、解答题10．(2019·遂宁月考)已知抛物线C：y2＝4x的焦点为F，直线l经过点F且与抛物线C相交于A，B两点．(1)若线段|AB|＝20，求线段AB的中点到y轴的距离；(2)若线段AB的中点在直线y＝2上，求直线l的方程．解：(1)由题意知，p＝2，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋2＝20，∴x1＋x2＝18，∴＝9，∴线段AB的中点到y轴的距离为9.(2)设直线l的方...
