3.1.3空间向量的数量积运算课时跟踪检测一、选择题1．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，下列各对向量的夹角为135°的是()A．〈AB，A1C1〉B．〈AB，C1A1〉C．〈AB，A1D1〉D．〈AB，B1A1〉解析：〈AB，A1C1〉＝45°，〈AB，C1A1〉＝135°，〈AB，A1D1〉＝90°，〈AB，B1A1〉＝180°.答案：B2．如图，已知空间四边形每条边长和对角线长都等于a，点E，F，G分别是AB，AD，DC的中点，则下列向量的数量积等于a2的是()A．2BA·ACB．2AD·DBC．2FG·ACD．2EF·CB解析：2BA·AC＝－a2，故A错；2AD·DB＝－a2，故B错；2EF·CB＝－a2，故D错；2FG·AC＝|AC|2＝a2，故C正确．答案：C3．若向量a＝(3,2，x)，b＝(1,0,2)，c＝(1，－1,4)，满足条件(c－a)⊥b，则实数x的值()A．－1B．2C．3D．4解析：∵c－a＝(－2，－3,4－x)，∴(c－a)·b＝－2＋0＋2(4－x)＝0，解得x＝3.答案：C4．如图，一个结晶体的形状是平行六面体ABCD－A1B1C1D1，以A顶点为端点的三条棱长均是1，且它们彼此的夹角都是，则对角线AC1的长度是()A.B．2C.D．解析：|AC1|＝＝＝.答案：D15．A，B，C，D是空间不共面的四点，且满足AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，M为BC的中点，则△AMD是()A．钝角三角形B．锐角三角形C．直角三角形D．不确定解析：∵M是BC的中点，∴AM＝(AB＋AC)，∴AM·AD＝(AB＋AC)·AD＝AB·AD＋AC·AD＝0，∴AM⊥AD，∴△AMD是直角三角形．答案：C6．在正方体ABCD－A1B1C1D1中，有下列命题：①(AA1＋AD＋AB)2＝3AB2；②A1C·(A1B1－A1A)＝0；③AD1与A1B的夹角为60°.其中正确命题的个数是()A．1B．2C．3D．0解析：如图所示．由(AA1＋AD＋AB)2＝AA12＋AD2＋AB2＋2(AA1·AD＋AA1·AB＋AD·AB)＝3AB2，知①正确；由A1C·(A1B1－A1A)＝A1C·(A1B1＋AA1)＝A1C·AB1＝0，知②正确；AD1与A1B的夹角为120°，故③不正确．答案：B二、填空题7．已知空间向量a，b，c中每两个的夹角都是，且|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，则|a＋b＋c|＝________.解析：∵|a|＝4，|b|＝6，|c|＝2，且〈a，b〉＝〈a，c〉＝〈b，c〉＝，∴|a＋b＋c|2＝(a＋b＋c)·(a＋b＋c)＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2a·b＋2a·c＋2b·c＝|a|2＋|b|2＋|c|2＋2|a|·|b|cos〈a，b〉＋2|a|·|c|cos〈a，c〉＋2|b|·|c|cos〈b，c〉＝42＋62＋22＋4×6＋4×2＋6×2＝100，∴|a＋b＋c|＝10.答案：108．已知a和b的夹角为120°，且|a|＝2，|b|＝5，则(2a－b)·a＝________.解析：(2a－b)·a＝2a2－a·b＝2×4－2×5×＝13.答案：139．已知空间向量a＋b＋c＝0，|a|＝2，|b|＝3，|c|＝4，则cos〈a，b〉＝________.解析：∵a＋b＋c＝0，∴a＋b＝－c，∴(a＋b)2＝|a|2＋|b|2＋2a·b＝|c|2，∴a·b＝，cos〈a，b〉＝＝.答案：三、解答题10．(2019·山东济南高二月考)如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.2(1)求线段AC1的长；(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值．解：(1)∵AC1＝AB＋BC＋CC1＝AB＋AD＋AA1，∴|AC1|＝＝＝＝＝.(2)∵cos〈AC1，A1D〉＝＝＝＝＝－.∴异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.11．如图，已知在空间四边形ABCD中，AB⊥CD，AC⊥BD，求证：AD⊥BC.证明：∵AB⊥CD，AC⊥BD，∴AB·CD＝0，AC·BD＝0.∴AD·BC＝(AB＋BD)·(AC－AB)＝AB·AC＋BD·AC－AB2－AB·BD＝AB·AC－AB2－AB·BD＝AB·(AC－AB－BD)＝AB·DC＝0.∴AD⊥BC，从而AD⊥BC.12.如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝BC＝AA1，∠ACB＝90°，D，E分别是AB，BB1的中点．(1)求证：CE⊥A1D；(2)求异面直线CE与AC1所成角的余弦值．解：设CA＝a，CB＝b，CC1＝c.根据题意，得|a|＝|b|＝|c|，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)证明：CE＝CB＋BE＝b＋c，A1D＝A1A＋AD＝－AA1＋(CB－3CA)＝－c＋b－a.则CE·A1D＝·＝－b·c－c2＋b2＋b·c－a·b－a·c＝|b|2－|c|2＝0，∴CE⊥A1D，即CE⊥A1D.(2)易知AC1＝－a＋c，|AC1|＝|a|，又CE＝b＋c，∴|CE|＝|a|.∴AC1·CE＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，∴cos〈AC1，CE〉＝＝＝.即异面直线CE与AC1所成角的余弦值为.13．(2019·银川模拟)正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱长均为2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长为()A．2B．C.D．解析：如图所示，设AB＝a，AC＝b，AA1＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝2，且〈a，b〉＝60°，〈a，c〉＝90°，〈b，c〉＝90°.又∵EF＝EA＋AA1＋A1F＝－AB＋AA1＋A1C1＝－a＋c＋b，∴|EF|2＝a2＋c2＋b2＋2－a·c＋b·c－a·b＝×4＋4＋×4＋2－×0＋×0－×2×2×＝1＋4＋1－1＝5.∴|EF|＝.即EF的长为.答案：C45
