四柱坐标系与球坐标系简介课后篇巩固探究A组1.已知点A的球坐标为,则点A的直角坐标为()A.(3,0,0)B.(0,3,0)C.(0,0,3)D.(3,3,0)解析设点A的直角坐标为(x,y,z),则x=3×sin×cos=0,y=3×sin×sin=3,z=2×cos=0,所以直角坐标为(0,3,0).答案B2.若点M的直角坐标为(-1,-,3),则它的柱坐标是()A.B.C.D.解析设点M的柱坐标为(ρ,θ,z),则ρ==2,θ=,z=3,所以点M的柱坐标为,故选C.答案C3.在球坐标系中,方程r=3表示空间中的()A.以x轴为中心轴,底面半径为3的圆柱面B.以y轴为中心轴,底面半径为3的圆柱面C.以z轴为中心轴,底面半径为3的圆柱面D.以原点为球心,半径为3的球面答案D4.导学号73574021已知点M的球坐标为,则点M到Oz轴的距离为()A.2B.C.2D.4解析设点M的直角坐标为(x,y,z),因为(r,φ,θ)=,1所以即M(-2,2,2).故点M到Oz轴的距离为=2.答案A5.在空间直角坐标系Oxyz中,下列柱坐标对应的点在平面yOz内的是()A.B.C.D.解析由点P的柱坐标(ρ,θ,z)知,当θ=时,点P在平面yOz内,故选A.答案A6.若点P的直角坐标为(,3),则它的柱坐标是.答案7.已知在柱坐标系Oxyz中,点M的柱坐标为,则|OM|=.解析设点M的直角坐标为(x,y,z),且x2+y2=ρ2=4,故|OM|==3.答案38.若点M的球坐标为,O为原点,则点M到原点的距离为,OM与平面xOy所成的角为.答案29.建立适当的球坐标系,求棱长为1的正方体的各个顶点的球坐标.解以正方体的顶点O为极点,以此顶点处的三条棱所在的直线为坐标轴,建立如图所示的球坐标系.2则有O(0,0,0),A,B,C,D(1,0,0),E,F,G.10.(1)将下列各点的柱坐标化为直角坐标:P,Q.(2)将下列各点的球坐标化为直角坐标:A,B,C.解(1)设点P的直角坐标为(x1,y1,z1),则x1=ρcosθ=cos,y1=ρsinθ=sin,z1=,故点P的直角坐标为.设点Q的直角坐标为(x2,y2,z2),则x2=4cos=-2,y2=4sin=2,z2=-3,故点Q的直角坐标为(-2,2,-3).(2)设点A的直角坐标为(x1,y1,z1),则x1=rsinφcosθ=4sin×cos=4×1×=2,y1=rsinφsinθ=4sinsin=4×1×=-2,z1=rcosφ=4×cos=0,故点A的直角坐标为(2,-2,0).3设点B的直角坐标为(x2,y2,z2),则x2=8sincosπ=8××(-1)=-4,y2=8sinsinπ=0,z2=8cos=8×=-4.故点B的直角坐标为(-4,0,-4).设点C的直角坐标为(x3,y3,z3),因为r=0,所以x3=0,y3=0,z3=0,即点C的直角坐标为(0,0,0).11.导学号73574022在直三棱柱ABC-A1B1C1中,|CA|=|CB|=1,∠BCA=90°,棱|AA1|=2,M是线段A1B1的中点.建立适当的坐标系,求点M的直角坐标和柱坐标.解建立如图所示的空间直角坐标系,过点M作底面xCy的垂线MN.因为ABC-A1B1C1是直三棱柱,所以点N在线段AB上.过点N分别作x轴、y轴的垂线NE,NF,根据已知,可得△ABC是等腰直角三角形,所以|NE|=|NF|=.故点M的直角坐标为.由于点M在平面xCy上的射影为点N,连接CN,|CN|=,∠ECN=,故点M的柱坐标为.B组1.在柱坐标系中,方程z=C(C为常数)表示()A.圆B.与xOy平面垂直的平面C.球面D.与xOy平面平行的平面答案D2.已知在空间直角坐标系Oxyz中,点M在平面yOz内,若M的球坐标为(r,φ,θ),则应有()4A.φ=B.θ=C.φ=D.θ=解析由点M向平面xOy作垂线,垂足N一定在直线Oy上,由极坐标系的意义知θ=.答案D3.在柱坐标系中,满足的动点M(ρ,θ,z)围成的几何体的体积为.解析根据柱坐标系与点的柱坐标的意义可知满足ρ=1,0≤θ<2π,0≤z≤2的动点M(ρ,θ,z)的轨迹是以直线Oz为轴,轴截面为正方形的圆柱面,其底面半径r=1,高h=2,故V=Sh=πr2h=2π.答案2π4.导学号73574023在柱坐标系中,长方体ABCD-A1B1C1D1的一个顶点在原点,另两个顶点的坐标分别为A1(8,0,10),C1,则该长方体外接球的体积为.解析由题意知长方体的长、宽、高分别为8,6,10,则其外接球的半径为5.故其外接球的体积为×(5)3=.答案5.如图,点P为圆柱的上底面与侧面交线上的一点,且点P的柱坐标为,求该圆柱的体积.解过点P作PP'垂直于底面,垂足为P',因为P,5所以点P'的柱坐标为.因此圆柱的底面半径为6,高为5.故圆柱的体积为V=π×62×5=180π.6.一个圆形体育场,自正东方向起,按逆时针方向等分为十六个扇形区域,顺次记为一区,二区……十六区,我们设圆形体育场第一排与体育场中心的距离为200m,每相邻两排的间距为1m,每层看台的高度为0.7m,现在需要确定第九区第四排正中的位置A,请建立适当的柱坐标系,把点A的柱坐...
