7.4基本不等式及其应用1.基本不等式≤(1)基本不等式成立的条件：a≥0，b≥0.(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号.2.几个重要的不等式(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R).(2)＋≥2(a，b同号).(3)ab≤2(a，b∈R).(4)≥2(a，b∈R).以上不等式等号成立的条件均为a＝b.3.算术平均数与几何平均数设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为两个正数的几何平均数不大于它们的算术平均数，当两个正数相等时两者相等.4.利用基本不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当x＝y时，x＋y有最小值2.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当x＝y时，xy有最大值.(简记：和定积最大)【知识拓展】不等式的恒成立、能成立、恰成立问题(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔f(x)min>A(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)A成立⇔f(x)max>A(x∈D)；若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D；不等式f(x)0且y>0”是“＋≥2”的充要条件.(×)(4)若a>0，则a3＋的最小值为2.(×)(5)不等式a2＋b2≥2ab与≥有相同的成立条件.(×)(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.(√)1.(教材改编)设x>0，y>0，且x＋y＝18，则xy的最大值为________.答案81解析 x>0，y>0，∴≥，即xy≤()2＝81，当且仅当x＝y＝9时，(xy)max＝81.2.(教材改编)若00，故＝·≤·＝，当且仅当x＝时，上式等号成立.∴0<≤.3.(教材改编)当点(x，y)在直线x＋3y－2＝0上移动时，函数z＝3x＋27y＋3的最小值是____.答案9解析z＝3x＋33y＋3≥2＋3＝2＋3＝2＋3＝9，当且仅当3x＝33y，即x＝1，y＝时，z取最小值.4.若实数x，y满足xy＝1，则x2＋2y2的最小值为______.答案2解析因为x2＋2y2≥2＝2xy＝2，当且仅当x＝y时取等号，2所以x2＋2y2的最小值为2.5.(教材改编)①若x∈(0，π)，则sinx＋≥2；②若a，b∈(0，＋∞)，则lga＋lgb≥2；③若x∈R，则≥4.其中正确结论的序号是________.答案①③解析①因为x∈(0，π)，所以sinx∈(0,1]，所以①成立；②只有在lga>0，lgb>0，即a>1，b>1时才成立；③＝|x|＋≥2＝4，当且仅当x＝±2时“＝”成立.题型一利用基本不等式求最值命题点1通过配凑法利用基本不等式例1(1)已知01)的最小值为________.答案(1)(2)1(3)2＋2解析(1)x(4－3x)＝·(3x)(4－3x)≤·[]2＝，当且仅当3x＝4－3x，即x＝时，取等号.(2)因为x<，所以5－4x>0，则f(x)＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时，等号成立.故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.(3)y＝＝＝＝(x－1)＋＋2≥2＋2.当且仅当(x－1)＝，即x＝＋1时，等号成立.命题点2通过常数代换法利用基本不等式3例2已知a>0，b>0，a＋b＝1，则＋的最小值为________.答案4解析 a>0，b>0，a＋b＝1，∴＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝4，即＋的最小值为4，当且仅当a＝b＝时等号成立.引申探究1.条件不变，求(1＋)(1＋)的最小值.解(1＋)(1＋)＝(1＋)(1＋)＝(2＋)·(2＋)＝5＋2(＋)≥5＋4＝9.当且仅当a＝b＝时，取等号.2.已知a>0，b>0，＋＝4，求a＋b的最小值.解由＋＝4，得＋＝1.∴a＋b＝(＋)(a＋b)＝＋＋≥＋2＝1.当且仅当a＝b＝时取等号.3.将条件改为a＋2b＝3，求＋的最小值.解 a＋2b＝3，∴a＋b＝1，∴＋＝(＋)(a＋b)＝＋＋＋≥1＋2＝1＋.当且仅当a＝b时，取等号.思维升华(1)应用基本不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”.所谓“一正”是指正数，...
