C1407班的李镜楠有一天拦住我，说：“老师，我觉得海伦公式很重要，你可以讲一下吗？”海伦公式一、什么是海伦公式？如图1，在三角形ABC中，A=15，B=14，C=13，求三角形ABC的面积，运用我们已经学习过的知识可以直接求解吗？图1像这样的题目，用海伦公式很容易解决，那么，什么是海伦公式呢？海伦公式：三角形的面积S=√p(p−a)(p−b)(p−c)其中：a、b、c分别是三角形的三边长，p=12(a+b+c)海伦公式亦称“海伦-秦九韶公式”。此公式（利用三角形的三条边长来求三角形面积）相传是亚历山大港的海伦发现的，并可在其于公元60年的《Metrica》中找到其证明。亦有认为早于阿基米德时代已经懂得这条公式，而由于《Metrica》是一部古代数学知识的结集，该公式的发现时期很有可能先于海伦的著作。亚历山大里亚的海伦（希腊语：ἭρωνὁἈλεξανδρεύς）（公元10年－70年），是一位古希腊数学家，居住于托勒密埃及时期的罗马省。他也是一名活跃于其家乡亚历山大里亚的工程师，他被认为是古代最伟大的实验家，他的著作在希腊化时期文明（Hellenisticcivilization）科学传统方面享负盛名。我国南宋末年数学家秦九韶，其著作《数书九章》卷五第二题即三斜求积。“问沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里，里法三百步，欲知为田几何？”答曰：“三百十五顷．”其术文是：“以小斜幂并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之为实，……开平方得积。”若以大斜记为a，中斜记为b，小斜记为c，用现代公式表示即为：能否由秦九韶的公式推导出海伦公式？二、秦九韶公式推导出海伦公式详见人教版教材八年级下册三、秦九韶公式的证明中国古代的天元术发展水平非常高，猜想秦九韶在独立推出“三斜求积”公式过程中，利用了解方程的方法，从三角形最基本的面积公式SΔABC=12aha入手，利用勾股定理，布列方程组求高。如图2，yxz图2ABCD在△ABC中，AD为边BC上的高，根据勾股定理，有{x2+y2=c2¿{x2+z2=b2¿¿¿¿解方程，得y=a2+c2−b22a，z=a2+b2−c22a，x=√c2−y2=√c2−(a2+c2−b22a)2=12a√4a2c2−(a2+c2−b2)2又因为SΔABC=12aha，所以三、海伦公式的证明那么，海伦公式如何证明呢？海伦公式：三角形的面积S=√p(p−a)(p−b)(p−c)其中：a、b、c分别是三角形的三边长，p=12(a+b+c)证明（1）：由余弦定理可知：cosC=a2+b2−c22ab，由此得出由p=12(a+b+c)可得：a+b+c=2p，a+b−c=a+b+c−2c=2p−2c=2(p−c)，−a+b+c=a+b+c−2a=2p−2a=2(p−a)，a−b+c=a+b+c−2b=2p−2b=2(p−b)，因此：sinC=12ab√(a+b+c)(a+b−c)(−a+b+c)(a−b+c)=2ab√p(p−a)(p−b)(p−c)由三角形面积公式S=12absinC即得S=√p(p−a)(p−b)(p−c)上述证明用到了三角函数sinC、cosC，因为初二年级的学生还没有接触三角函数，我们也可以考虑用以下的方法证明。BT是△ABC的AC边上的高，点T为垂足。记AB=c，AC=b，BC=a，BT=h，CT=d（见上图）。证明（2）：若△ABC是锐角三角形（图3），则由勾股定理有{a2−d2=h2(1)c2−(b−d)2=h2(2)由（1）式得出d=√a2−h2，带入（2）式：c2−(b−√a2−h2)2=h2。展开，即得c2−(b2+a2−h2−2b√a2−h2)=h2，由此式解得h2=4a2b2−(a2+b2−c2)24b2=(a+b+c)(−a+b+c)(a−b+c)(a+b−c)4b2，图4CABT图3TBAC类似于证明（1），得出h2=4p(p−a)(p−b)(p−c)b2，由于三角形面积S=12bh，由上式即得S=√p(p−a)(p−b)(p−c)。若△ABC是钝角三角形（图4），不失一般性，设∠C>90∘，则由勾股定理有{a2−d2=h2(1)c2−(b+d)2=h2(3)类似于△ABC是锐角三角形的情况，可得h2=4p(p−a)(p−b)(p−c)b2，因而亦得S=√p(p−a)(p−b)(p−c)。若△ABC是直角三角形（图4），不失一般性，设∠C=90∘，由勾股定理有a2+b2=c2。√p(p−a)(p−b)(p−c)=√a+b+c2⋅−a+b+c2⋅a−b+c2⋅a+b−c2=14√[(a+b)2−c2]⋅[c2−(a−b)2]=12ab故，此时仍有S=√p(p−a)(p−b)(p−c)。四、海伦公式的推导海伦公式形式漂亮，结构工整，有多种变形，如：S=√p(p−a)(p−b)(p−c)=14√(a+b+c)(a+b−c)(a+c−b)(b+c−a)=14√[(a+b)2−c2][c2−(a−b)2]=14√(a2+b2−c2+2ab)[−(a2+...
