高二数学反正弦函数 反余弦函数知识精讲 人教版VIP免费

高二数学反正弦函数反余弦函数知识精讲人教版一.本周教学内容：《代数》（必修本）上册第四章4.1反正弦函数；4.2反余弦函数二.重点、难点：本周我们将在上学期学习了三角函数的有关知识的基础上，进一步研究三角函数的反函数问题。（对于一个函数的反函数的研究，使我们更加全面地认识了这个函数自身，这正如研究某一种运算的逆运算一样，是我们全面认识事物的重要方式）。本周我们将要学习正弦函数、余弦函数的反函数，即反正弦函数、反余弦函数。重点知识如下：1.反正弦函数的定义：把函数，，的反函数叫做反正弦函数，记作，其中，，，。yxxyxxysinarcsin[]221122（定义了反正弦函数后，今后我们将用符号来表示某些角，即可用表示正弦值为，且属于，的角，例如若已知，且，，则。）arcsinarcsinsinarcsinxxx223522352.反正弦函数的图象：它与，，的图象关于直线对称，如下图所示，观察图象，易得到反正弦函数的性质。yxxyxsin22y=sinx22y=arcsinx2-ππ--1π2π1xy03.反正弦函数的性质：（1）奇偶性：yxxxxarcsin[]arcsin()arcsin，，是奇函数，即。11（2）单调性：yxxarcsin[]，，在其定义域上是增函数。11（3）对应法则的性质：sin(arcsin)[]arcsin(sin)xxxxxx，，；，，。1122（对于这两个恒等式，只需借助于映射图，即可理解其涵义。）用心爱心专心角正弦值角正弦值[]22，[]11，[]22，[]11，sin(arcsin)[]xxx，，11arcsin(sin)[]xxx，，22反正弦正弦正弦反正弦arcsinxxxsinx4.熟悉下列恒等式，对于解题是有帮助的：cos(arcsin)[]xxx1112，，5.反余弦函数的定义：把函数，，的反函数叫做反余弦函数，记作，，，，。（与反正弦函数类似，若已知，，，则。）yxxyxxycos[]arccos[][]cos[]arccos0110150156.反余弦函数的图象：yxxyxxyxarccos[]cos[]，，的图象与，，的图象关于直线对称，如下图所示：110yxπ-101π-1y=cosx7.反余弦函数的性质：（1）奇偶性：yxxxxxarccos[][]arccos()arccos，，是非奇非偶函数，对任意，，有。1111（2）单调性：yxxarccos[]，，在其定义域上为减函数。11（3）对应法则性质：cos(arccos)[]arccos(cos)[]xxxxxx，，；，，。1108.熟悉下列恒等式，对于解题是有帮助的：sin(arccos)[]arcsinarccos[]xxxxxx1112112，，；，，。用心爱心专心（第二个恒等式表述了如下事实：正弦值、余弦值皆为的两个角是互余的。如当时，，，显然有；当时，，。此时，依然有。）xxx121261231212212126122312122arcsinarccosarcsinarccosarcsin()arccos()arcsin()arccos()三.学习目标：1.正确理解反正弦函数、反余弦函数的概念、性质，能正确作出函数图象。2.正确理解符号arcsinx，arccosx的意义，即它们表示什么，以便能正确地使用它们。3.掌握两类求值：（）反正弦（或反余弦）的正弦（或余弦）函数值，形如，，，，……135233523sin(arcsin)sin(arccos)cos(arcsin)cos(arccos)（）正弦（或余弦）的反正弦（或反余弦）函数值，形如，，，，……2334334arcsin(sin)arcsin(cos)arccos(sin)arccos(cos)【典型例题】例1.求函数的定义域、值域及单调区间。yxxarcsin()2分析：为简化问题，对采取换元，设，则，如此以来，是两个简单函数，的复合。（）欲求定义域，即的取值范围，只需由，，即解出的取值范围。（）欲求值域，即的变化范围，只需先求得的变化范围，再利用的单调性，即可得到。（）而求单调区间，则需借助于复合函数的单调性规律。xxxxuyuyxxyuuxxxuxyuu222211123arcsinarcsin()arcsin[]arcsin解：设，则，uxxyxxu22arcsin()arcsin11u112xx解不等式得：152152x函数的定义域为，yxxar...