3.1.3空间向量的数量积运算(建议用时：40分钟)一、选择题1．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝0，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形D．等边三角形【答案】B[因为DB＋DC－2DA＝(DB－DA)＋(DC－DA)＝AB＋AC所以(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝(AB＋AC)·(AB－AC)＝AB2－AC2＝0所以|AB|＝|AC|，因此△ABC是等腰三角形．]2．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，则()A．m∥nB．m⊥nC．m不平行于n，m也不垂直于nD．以上三种情况都有可能【答案】B[由题意知，m·a＝0，m·b＝0，则m·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0.因此m⊥n.]3．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE·AF的值为()A．a2B．a2C．a2D．a2【答案】C[AE·AF＝(AB＋AC)·AD＝(AB·AD＋AC·AD)＝＝a2.]4．已知空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】C[根据已知∠ACD＝∠BDC＝90°，得AC·CD＝DB·CD＝0，∴AB·CD＝(AC＋CD＋DB)·CD＝AC·CD＋|CD|2＋DB·CD＝|CD|2＝1，∴cos〈AB，CD〉＝＝，∴AB与CD所成的角为60°.]5.如图3124，已知平行四边形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60°，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，则PC＝()图3124A．3B．7C．4D．6【答案】B[|PC|2＝PC·PC＝(PA＋AD＋DC)2＝|PA|2＋|AD|2＋|CD|2＋2PA·AD＋基础篇12AD·DC＋2PA·DC＝62＋42＋32＋2|AD||DC|cos120°＝49.所以|PC|＝7.]二、填空题6．已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60°，则使向量a＋λb与λa－2b的夹角为钝角的实数λ的取值范围是________．【答案】(－1－，－1＋)[由题意知即得λ2＋2λ－2<0.∴－1－<λ<－1＋.]7.如图3125，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．图3125【答案】90°[不妨设棱长为2，则AB1＝BB1－BA，BM＝BC＋BB1，cos〈AB1，BM〉＝＝＝0，故填90°.]8．如图3126所示，在一个直二面角αABβ的棱上有A，B两点，AC，BD分别是这个二面角的两个面内垂直于AB的线段，且AB＝4，AC＝6，BD＝8，则CD的长为________.图3126【答案】2[ CD＝CA＋AB＋BD＝AB－AC＋BD，∴CD2＝(AB－AC＋BD)2＝AB2＋AC2－2AB·AC＋BD2＋2AB·BD－2AC·BD＝16＋36＋64＝116，∴|CD|＝2.]三、解答题9．如图3127，在正方体ABCDA1B1C1D1中，O为AC与BD的交点，G为CC1的中点．求证：A1O⊥平面BDG.图3127【答案】设A1B1＝a，A1D1＝b，A1A＝C．则a·b＝0，a·c＝0，b·c＝0.2而A1O＝A1A＋AO＝A1A＋(AB＋AD)＝c＋(a＋b)，BD＝AD－AB＝b－a，OG＝OC＋CG＝(AB＋AD)＋CC1＝(a＋b)－C．∴A1O·BD＝·(b－a)＝c·(b－a)＋(a＋b)·(b－a)＝c·b－c·a＋(b2－a2)＝(|b|2－|a|2)＝0.∴A1O⊥BD.∴A1O⊥BD．同理可证A1O⊥OG.∴A1O⊥OG.又OG∩BD＝O且A1O⊄平面BDG，∴A1O⊥平面BDG.10．已知长方体ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E为侧面AB1的中心，F为A1D1的中点，试计算：(1)BC·ED1；(2)BF·AB1；(3)EF·FC1.【答案】如图所示，设AB＝a，AD＝b，AA1＝c，则|a|＝|c|＝2，|b|＝4，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)BC·ED1＝AD·(EA1＋A1D1)＝AD·＝b·＝|b|2＝42＝16.(2)BF·AB1＝(BA1＋A1F)·(AB＋BB1)＝·(AB＋AA1)＝·(a＋c)＝|c|2－|a|2＝22－22＝0.(3)EF·FC1＝(EA1＋A1F)·(FD1＋D1C1)＝·＝·＝(－a＋b＋c)·＝－|a|2＋|b|2＝2.提升篇31．已知边长为1的正方体ABCDA1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心为O1，则AO1·AC的值为()A．－1B．0C．1D．2【答案】C[AO1＝AA1＋A1O1＝AA1＋(A1B1＋A1D1)＝AA1＋(AB＋AD)，而AC＝AB＋AD，则AO1·AC＝(AB2＋AD2)＝1，故选C．]2．已知a，b是两异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则直线a，b所成的角为()A．30°B．60°C．90°D．45°【答案】B[由于AB＝AC＋CD＋DB，则AB·CD＝(AC＋CD＋DB)·CD＝CD2＝1.cos〈AB，CD〉＝＝，得〈AB，CD〉＝60°.]3．已知正三棱柱ABCDEF的侧棱长为2，底面边长为1，M是BC的中点，若直线CF上有一点N，使MN⊥AE，则＝________...
