3.1空间向量及其运算3.1.5空间向量运算的坐标表示A级基础巩固一、选择题1．△ABC的顶点分别为A(1，－1，2)，B(5，－6，2)，C(1，3，－1)，则AC边上的高BD等于()A．5B.C．4D．2解析：设AD＝λAC，又AC＝(0，4，－3)，则AD＝(0，4λ，－3λ)．又因为AB＝(4，－5，0)，所以BD＝(－4，4λ＋5，－3λ)．由AC·BD＝0，得λ＝－，所以BD＝.所以|BD|＝5.答案：A2．已知a＝(2，－3，1)，则下列向量中与a平行的是()A．(1，1，1)B．(－2，－3，5)C．(2，－3，5)D．(－4，6，－2)解析：若b＝(－4，6，－2)，则b＝－2(2，－3，1)＝－2a，所以a∥b.答案：D3．已知a＝(1，5，－2)，b＝(m，2，m＋2)，若a⊥b，则m的值为()A．0B．6C．－6D．±6解析：因为a⊥b，所以1×m＋5×2－2(m＋2)＝0，解得m＝6.答案：B4．若a＝(1，λ，2)，b＝(2，－1，2)，且a与b的夹角的余弦为，则λ＝()A．2B．－2C．－2或D．2或－答案：C5．若A(3cosα，3sinα，1)，B(2cosθ，2sinθ，1)，则|AB|的取值范围是()A．[0，5]B．[1，5]C．(1，5)D．(0，5)解析：|AB|＝＝，因为－1≤cos(α－θ)≤1，所以1≤|AB|≤5.答案：B二、填空题6．已知点A(1，2，1)，B(－1，3，4)，D(1，1，1)，若AP＝2PB，则|PD|＝________．答案：7．已知向量a＝(－1，0，1)，b＝(1，2，3)，k∈R，若ka－b与b垂直，则k＝________．解析：因为(ka－b)⊥b，所以(ka－b)·b＝0，1所以ka·b－|b|2＝0，所以k(－1×1＋0×2＋1×3)－()2＝0，解得k＝7.答案：78．已知点A(λ＋1，μ－1，3)，B(2λ，μ，λ－2μ)，C(λ＋3，μ－3，9)三点共线，则实数λ＋μ＝________．解析：因为AB＝(λ－1，1，λ－2μ－3)，AC＝(2，－2，6)，若A，B，C三点共线，则AB∥AC，即＝－＝，解得λ＝0，μ＝0，所以λ＋μ＝0.答案：0三、解答题9．已知a＝4e1＋3e2－e3，b＝5e1－4e2＋2e3，其中{e1，e2，e3}是一组正交单位基底，试求a·b及a，b之间夹角的余弦值．解：由题意知a＝(4，3，－1)，b＝(5，－4，2)，所以a·b＝(4，3，－1)×(5，－4，2)＝4×5＋3×(－4)＋(－1)×2＝6.又因为|a|＝＝，|b|＝＝＝3，所以cos〈a，b〉＝＝＝，所以a·b＝6，a与b夹角的余弦值为.10．已知△ABC三个顶点的坐标分别为A(1，2，3)，B(2，－1，5)，C(3，2，－5)．(1)求△ABC的面积；(2)求△ABC中AB边上的高．解：(1)由已知得AB＝(1，－3，2)，AC＝(2，0，－8)，所以|AB|＝＝，|AC|＝＝2，AB·AC＝1×2＋(－3)×0＋2×(－8)＝－14，cos〈AB，AC〉＝＝＝，sin〈AB，AC〉＝＝.所以S△ABC＝|AB|·|AC|·sin〈AB，AC〉＝××2×＝3.(2)设AB边上的高为CD，则|CD|＝＝3.B级能力提升1．已知AB＝(1，5，－2)，BC＝(3，1，z)，若AB⊥BC，BP＝(x－1，y，－3)，且BP⊥平面ABC，则BP等于()A.B.C.D.答案：D2．已知空间三点A(1，1，1)，B(－1，0，4)，C(2，－2，3)，则AB与CA的夹角θ的大小是________．解析：因为AB＝(－2，－1，3)，CA＝(－1，3，－2)，所以cos〈AB，CA〉＝＝＝＝－，又0°≤〈AB，CA〉≤180°，所以θ＝〈AB，CA〉＝120°.2答案：120°3．在正方体ABCDA1B1C1D1中，已知E、F、G、H分别是CC1、BC、CD和A1C1的中点．证明：(1)AB1∥GE，AB1⊥EH；(2)A1G⊥平面EFD.证明：如图，以A为原点建立空间直角坐标系，设正方体棱长为1，则A(0，0，0)、B(1，0，0)、C(1，1，0)，D(0，1，0)、A1(0，0，1)，B1(1，0，1)、C1(1，1，1)、D1(0，1，1)，由中点性质得E、F，G、H.(1)则AB1＝(1，0，1)，GE＝，EH＝因为AB1＝2GE，AB1·EH＝1×＋1×＝0，所以AB1∥GE，AB1⊥EH.即AB1∥GE，AB1⊥EH.(2)因为A1G＝，DF＝，DE＝，所以A1G·DF＝－＋0＝0，A1G·DE＝＋0－＝0，所以A1G⊥DF，A1G⊥DE.又DF∩DE＝D，所以A1G⊥平面EFD.3
