专项强化训练(二)三角函数与平面向量的综合应用一、选择题1.(2015·济宁模拟)已知向量a=(1,),b=(cosθ,sinθ),若a∥b,则tanθ=()A.B.C.-D.-【解析】选B.因为a∥b,所以sinθ-cosθ=0,即sinθ=cosθ.故tanθ=.2.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,m=(bcosC,-1),n=((c-3a)cosB,1),且m∥n,则cosB的值为()A.B.-C.D.-【解题提示】利用已知转化为边角关系后利用余弦定理角化边后可解.【解析】选A.由m∥n,得bcosC+(c-3a)cosB=0.所以=.则c(a2+b2-c2)=3a(a2+c2-b2)-c(a2+c2-b2).所以2a2c=3a(a2+c2-b2),则=.于是cosB==.3.(2015·临沂模拟)若向量a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ),则a与b一定满足()A.a与b的夹角等于α-βB.a⊥bC.a∥bD.(a+b)⊥(a-b)【解题提示】欲求a与b满足的关系,先利用平面向量数量积公式,判断a与b是否有垂直或者平行的关系,再结合选项判断.【解析】选D.因为a·b=(cosα,sinα)·(cosβ,sinβ)=cos(α-β),这表明这两个向量的夹角的余弦值为cos(α-β).同时,也不能得出a与b的平行和垂直关系.因为计算得到(a+b)·(a-b)=0,所以(a+b)⊥(a-b).故选D.4.已知a=,b=(cosθ,sinθ),θ∈(0,π),则|a-b|的取值范围是()A.(0,1)B.(0,1]C.(0,)D.(0,]【解析】选C.因为a-b=,所以|a-b|====,因为θ∈(0,π),所以∈,cos∈(0,1).故|a-b|∈(0,).5.(2015·郑州模拟)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,cosC=,·=-2且a+b=5,则c等于()A.B.C.4D.【解题提示】由已知cosC=,·=-2,利用数量积公式得到ab=8,再利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC可求c.【解析】选A.由已知cosC=,·=-2,得b·a·cos(π-C)=-2⇒b·a·cosC=2,所以ab=8,利用余弦定理可得,c2=a2+b2-2abcosC=(a+b)2-2ab-2abcosC=52-2×8-4=5.所以c=.故选A.二、填空题6.在△ABC中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c,已知m=(1,2),n=(ccosA,b),p=(c,-bcosA),若m∥n,m⊥p,则△ABC的形状是.【解题提示】利用向量关系转化为边角关系后,再边化角可解.【解析】由m∥n可得,b=2ccosA.由正弦定理可得sinB=2sinCcosA,即sin(A+C)=2sinCcosA.从而sinAcosC+cosAsinC=2sinCcosA,故sinAcosC-cosAsinC=0.即sin(A-C)=0,又-π
b,则A>B,故B=,根据余弦定理,有(4)2=52+c2-2×5c×,解得c=1或c=-7(舍去).故向量在方向上的投影为||cosB=.答案:三、解答题9.(2015·潍坊模拟)在△ABC中,a,b,c分别是角A,B,C的对边,m=(2a+c,b),n=(cosB,cosC),且m·n=0.(1)求角B的大小.(2)设函数f(x)=sin2xcos(A+C)-cos2x,求函数f(x)的最小正周期,最大值及当f(x)取得最大值时x的值.【解析】(1)由已知得,(2a+c)cosB+bcosC=0,即(2sinA+sinC)cosB+sinBcosC=0,即2sinAcosB+sinCcosB+sinBcosC=0.所以2sinAcosB+sin(B+C)=0,即2sinAcosB+sinA=0.因为0
