课时分层作业(八)由曲线求它的方程、由方程研究曲线的性质(建议用时：40分钟)[基础达标练]一、选择题1．方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0(a∈R)所表示的直线()A．恒过定点(－2,3)B．恒过定点(2,3)C．恒过点(－2,3)和点(2,3)D．都是平行直线A[把点(－2,3)和点(2,3)的坐标代入方程(a－1)x－y＋2a＋1＝0.验证知(－2,3)适合方程，而(2,3)不一定适合方程，故选A.]2．方程x2＋2y2＋2x－2y＋＝0表示的曲线是()A．一个点B．一条直线C．一个圆D．两条线段A[方程可化为(x＋1)2＋22＝0，所以即它表示点.故选A.]3．平面直角坐标系中，已知两点A(3,1)，B(－1,3)，若点C满足OC＝λ1OA＋λ2OB(O为原点)，其中λ1，λ2∈R，且λ1＋λ2＝1，则点C的轨迹是()A．直线B．椭圆C．圆D．双曲线A[设C(x，y)，则OC＝(x，y)，OA＝(3,1)，OB＝(－1,3)，∵OC＝λ1OA＋λ2OB，∴又λ1＋λ2＝1，∴x＋2y－5＝0，表示一条直线．]4．已知log2x，log2y,2成等差数列，则在平面直角坐标系中，点M(x，y)的轨迹为()A[由2log2y＝2＋log2x，得log2y2＝log24x，∴y2＝4x(x＞0，y＞0)，即y＝2(x>0)．]5．设过点P(x，y)的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A，B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若BP＝2PA且OQ·AB＝1，则点P的轨迹方程是()A．3x2＋y2＝1(x＞0，y＞0)B．3x2－y2＝1(x＞0，y＞0)C.x2－3y2＝1(x＞0，y＞0)D.x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)D[由P(x，y)，得Q(－x，y)．设A(a,0)，B(0，b)，则a>0，b>0，于是BP＝(x，y－b)，PA＝(a－x，－y)，由BP＝2PA可得a＝x，b＝3y，所以x>0，y>0.又AB＝(－a，b)＝，由OQ·AB＝1可得x2＋3y2＝1(x＞0，y＞0)．故选D.]二、填空题6．方程(x－1)2＋(x2＋y2－1)2＝0表示的图形为________．点(1,0)[∵(x－1)2＋(x2＋y2－1)2＝0.1∴即方程表示一个点(1,0)．]7．已知动点P(x，y)与两定点M(－1,0)，N(1,0)连线的斜率之积等于常数λ(λ≠0)．则动点P的轨迹C的方程为________．x2－＝1(λ≠0，x≠±1)[由题设知直线PM与PN的斜率存在且均不为零，所以kPM·kPN＝·＝λ，整理得x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．即动点P的轨迹C的方程为x2－＝1(λ≠0，x≠±1)．]8．在直角坐标平面xOy中，过定点(0,1)的直线l与圆x2＋y2＝4交于A，B两点．若动点P(x，y)满足OP＝OA＋OB，则点P的轨迹方程为________．x2＋(y－1)2＝1[设AB的中点为M，则OM＝OP，M.又因为OM⊥AB，AB的方向向量为，OM＝，所以·＝0，x2＋y(y－2)＝0，即x2＋(y－1)2＝1.]三、解答题9．已知圆C的方程为x2＋y2＝4，过圆C上的一动点M作平行于x轴的直线m，设m与y轴的交点为N，若向量OQ＝OM＋ON，求动点Q的轨迹方程．[解]设点Q的坐标为(x，y)，点M的坐标为(x0，y0)(y0≠0)，则点N的坐标为(0，y0)．因为OQ＝OM＋ON，即(x，y)＝(x0，y0)＋(0，y0)＝(x0,2y0)，则x0＝x，y0＝.又点M在圆C上，所以x＋y＝4.即x2＋＝4(y≠0)．所以，动点Q的轨迹方程为x2＋＝4(y≠0)．10．已知圆C：x2＋(y－3)2＝9，过原点作圆C的弦OP，求OP中点Q的轨迹方程．[解]法一：(直接法)如图，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°.设Q(x，y)，由题意，得|OQ|2＋|QC|2＝|OC|2，即x2＋y2＋[x2＋(y－3)2]＝9，所以点Q的轨迹方程是x2＋2＝(去掉原点)．法二：(定义法)如图所示，因为Q是OP的中点，所以∠OQC＝90°，则Q在以OC为直径的圆上，故Q点的轨迹方程为x2＋2＝(去掉原点)．法三：(代入法)设P(x1，y1)，Q(x，y)，由题意，得即又因为x＋(y1－3)2＝9，所以4x2＋42＝9，即点Q的轨迹方程为x2＋2＝(去掉原点)．[能力提升练]1．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足条件|PA|＝2|PB|，则动点P的轨迹所围成的图形的面积等于()A．9πB．8πC．4πD．π2C[设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，知＝2，化简整理，得(x－2)2＋y2＝4，所以，动点P的轨迹是圆心为(2,0)，半径为2的圆，此圆的面积为4π.]2．已知动点M到点A(9,0)的距离是M到点B(1,0)的距离的3倍，则动点M的轨迹方程是________．x2＋y2＝9[设M(x，y)，则|MA|＝，|MB|＝.由|MA|＝3|MB|，得＝3，化简得x2＋y2＝9.]3
