第1课时利用向量证明空间中的平行关系课后篇巩固提升基础巩固1.若直线l的方向向量为m,平面α的法向量为n,则可能使l∥α的是()A.m=(1,0,0),n=(-2,0,0)B.m=(1,3,5),n=(1,0,1)C.m=(0,2,1),n=(-1,0,-1)D.m=(1,-1,3),n=(0,3,1)解析A中,m·n=-2≠0,所以排除A;B中,m·n=1+5=6≠0,所以排除B;C中,m·n=-1,所以排除C;D中,m·n=0,所以m⊥n,能使l∥α.故选D.答案D2.已知空间四边形ABCD中,AC=BD,顺次连接各边中点P,Q,R,S,如图,所得图形是()A.长方形B.正方形C.梯形D.菱形解析因为⃗PQ=⃗BQ−⃗BP=12⃗BC−12⃗BA=12⃗AC.同理⃗SR=12⃗AC,所以⃗PQ=⃗SR,所以四边形PQRS为平行四边形.又⃗PS=⃗AS−⃗AP=12⃗AD−12⃗AB=12⃗BD,所以|⃗PS|=12∨⃗BD|,即PS=12BD.又|⃗PQ|=12∨⃗AC|,故PQ=12AC,而AC=BD,所以PS=PQ,故四边形ABCD为菱形.答案D3.已知线段AB的两端点坐标为A(9,-3,4),B(9,2,1),则线段AB与坐标平面()A.xOy平行B.xOz平行C.yOz平行D.yOz相交1解析⃗AB=(0,5,-3),坐标平面yOz的一个法向量为n=(1,0,0),因为⃗AB·n=0,所以⃗AB⊥n.故线段AB与坐标平面yOz平行.答案C4.已知直线l的方向向量v=(2,-1,3),且过A(0,y,3)和B(-1,2,z)两点,则y=,z=.解析因为v∥⃗AB,而⃗AB=(-1,2-y,z-3),所以-12=2-y-1=z-33,所以y=32,z=32.答案32325.已知直线l∥平面ABC,且l的一个方向向量为a=(2,m,1),A(0,0,1),B(1,0,0),C(0,1,0),则实数m的值是.解析 直线l∥平面ABC,∴存在实数x,y,使a=x⃗AB+y⃗AC,⃗AB=(1,0,-1),⃗AC=(0,1,-1),∴(2,m,1)=x(1,0,-1)+y(0,1,-1)=(x,y,-x-y),∴{2=x,m=y,1=-x-y,∴m=-3.答案-36.在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,求平面ACD1的一个法向量n.解如图,建立空间直角坐标系,则A(1,0,0),C(0,1,0),D1(0,0,1).设平面ACD1的法向量n=(x,y,z). ⃗AC=(-1,1,0),⃗AD1=(-1,0,1),又 n为平面ACD1的一个法向量,∴{n·⃗AC=0,n·⃗AD1=0,∴{(x,y,z)·(-1,1,0)=0,(x,y,z)·(-1,0,1)=0,化简,得{x=y,x=z.令x=1,得y=z=1.∴平面ACD1的一个法向量n=(1,1,1).7.已知三棱锥O-ABC中,OA=OB=1,OC=2,OA,OB,OC两两垂直,试找出一点D,使BD∥AC,DC∥AB.2解建立如图所示的空间直角坐标系,则A(1,0,0),B(0,1,0),C(0,0,2),设所求点D(x,y,z).由BD∥AC,DC∥AB⇒⃗BD∥⃗AC,⃗DC∥⃗AB,因此{(x,y-1,z)=k1(-1,0,2),(-x,-y,2-z)=k2(-1,1,0),⇒{x=-1,y=1,z=2.即点D的坐标为(-1,1,2).8.已知三棱锥P-ABC,D,E,F分别为棱PA,PB,PC的中点,求证:平面DEF∥平面ABC.证明如图:设⃗PD=a,⃗PE=b,⃗PF=c,则⃗PA=2a,⃗PB=2b,⃗PC=2c,所以⃗DE=b-a,⃗DF=c-a,⃗AB=2b-2a,⃗AC=2c-2a,对于平面ABC内任一直线l,设其方向向量为e,由平面向量基本定理知,存在唯一实数对(x,y),使e=x⃗AB+y⃗AC=x(2b-2a)+y(2c-2a)=2x(b-a)+2y(c-a)=2x⃗DE+2y⃗DF,因此e与⃗DE,⃗DF共面,即e∥平面DEF,所以l⊄平面DEF,即l∥平面DEF.由l的任意性知,平面ABC∥平面DEF.能力提升1.若⃗AB=λ⃗CD+μ⃗CE,则直线AB与平面CDE的位置关系是()A.相交B.平行C.在平面内D.平行或在平面内解析 ⃗AB=λ⃗CD+μ⃗CE,∴⃗AB,⃗CD,⃗CE共面,则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内.答案D2.若点A(a,0,0),B(0,b,0),C(0,0,c),则平面ABC的一个法向量为()A.(bc,ac,ab)B.(ac,ab,bc)C.(bc,ab,ac)D.(ab,ac,bc)解析设法向量为n=(x,y,z),则AB·n=0,⃗AC·n=0,则{-ax+by=0,-ax+cz=0,所以n=(bc,ac,ab).3答案A3.已知直线l与平面α垂直,直线l的一个方向向量为u=(1,-3,z),向量v=(3,-2,1)与平面α平行,则z等于()A.3B.6C.-9D.9解析 l⊥α,v与平面α平行,∴u⊥v,即u·v=0,∴1×3+3×2+z×1=0,∴z=-9.答案C4.平面α的法向量u=(x,1,-2),平面β的法向量v=(-1,y,12),已知α∥β,则x+y=.解析因为α∥β,所以u∥v.则x-1=1y=-212,即{x=4,y=-14,故x+y=154.答案1545.若A0,2,198,B1,-1,58,C-2,1,58是平面α内的三点,设平面α的法向量a=(x,y,z),则x∶y∶z=.解析因为⃗AB=1,-3,-74,⃗AC=-2,-1,-74,又因为a·⃗AB=0,a·⃗AC=0,所以{x-3y-74z=0,-2x-y-74z=0,解得{x=23y,z=-43y.所以x∶y∶z=23y∶y∶-43y=2∶3∶(-4).答案2∶3∶(-4)6.已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(0,0,2),B(4,2,0),C(2,4,0),求平面ABC的单位法向量.解⃗AB=(4,2,-2),⃗...
