3.1.1空间向量及其加减运算[A基础达标]1．已知空间向量AB，BC，CD，AD，则下列结论正确的是()A.AB＝BC＋CDB.AD＝AB＋CD＋BCC.AD＝AB＋BC－CDD.BC＝BD＋CD解析：选B.根据空间向量的加减运算可得B正确．2．给出下列命题：①向量AB的长度与向量BA的长度相等；②向量a与b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有公共终点的向量，一定是共线向量；④若向量AB与向量CD是共线向量，则点A，B，C，D必在同一条直线上；⑤有向线段就是向量，向量就是有向线段．其中假命题的个数为()A．2B．3C．4D.5解析：选C.①真命题；②假命题，若a与b中有一个为零向量时，其方向不确定；③假命题，终点相同并不能说明这两个向量的方向相同或相反；④假命题，共线向量所在直线可以重合，也可以平行；⑤假命题，向量可用有向线段来表示，但并不是有向线段．故假命题的个数为4.3．已知向量AB，AC，BC满足|AB|＝|AC|＋|BC|，则()A.AB＝AC＋BCB.AB＝－AC－BCC.AC与BC同向D.AC与CB同向解析：选D.由|AB|＝|AC|＋|BC|＝|AC|＋|CB|，知A，B，C三点共线且C点在线段AB上，所以AC与CB同向．4．在正方体ABCDA1B1C1D1中，下列选项中化简后为零向量的是()A.AB＋A1D1＋C1A1B.AB－AC＋BB1C.AB＋AD＋AA1D.AC＋CB1解析：选A.在A选项中，AB＋A1D1＋C1A1＝(AB＋AD)＋CA＝AC＋CA＝0.5．设有四边形ABCD，O为空间任意一点，且AO＋OB＝DO＋OC，则四边形ABCD是()A．平行四边形B．空间四边形C．等腰梯形D.矩形解析：选A.由于AO＋OB＝AB，DO＋OC＝DC，所以AB＝DC，从而|AB|＝|DC|，且AB与CD不共线，所以AB∥DC，所以四边形ABCD是平行四边形．6．式子(AB－CB)＋CC1运算的结果是__________．解析：(AB－CB)＋CC1＝(AB＋BC)＋CC1＝AC＋CC1＝AC1.1答案：AC17．已知平行六面体ABCDA′B′C′D′，则下列四式中正确的有________．①AB－CB＝AC；②AC′＝AB＋B′C′＋CC′；③AA′＝CC′；④AB＋BB′＋BC＋C′C＝AC′.解析：AB－CB＝AB＋BC＝AC，①正确；AB＋B′C′＋CC′＝AB＋BC＋CC′＝AC′，②正确；③显然正确；AB＋BB′＋BC＋C′C＝AB′＋B′C′＋C′C＝AC，④错．答案：①②③8．给出下列几个命题：①方向相反的两个向量是相反向量；②若|a|＝|b|，则a＝b或a＝－b；③对于任何向量a，b，必有|a＋b|≤|a|＋|b|.其中正确命题的序号为________．解析：对于①，长度相等且方向相反的两个向量是相反向量，故①错；对于②，若|a|＝|b|，则a与b的长度相等，但方向没有任何联系，故不正确；只有③正确．答案：③9．判断下列命题是否正确，若不正确，请简述理由．(1)若A，B，C，D四点在一条直线上，则AB与CD共线；(2)互为相反向量的向量的模相等；(3)任一向量与它的相反向量不相等．解：(1)正确．因为A，B，C，D四点在一条直线上，所以AB与CD一定共线．(2)正确．相反向量的模相等，但方向是相反的．(3)不正确．零向量的相反向量仍是零向量，零向量与零向量是相等的．10.如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，化简向量表达式：(1)AB＋CD＋BC＋DA；(2)AA1＋B1C1＋D1D＋CB.解：(1)AB＋CD＋BC＋DA＝AB＋BC＋CD＋DA＝0.(2)因为B1C1＝BC＝－CB，D1D＝－AA1，所以原式＝AA1－CB－AA1＋CB＝0.[B能力提升]11．已知正方体ABCDA′B′C′D′的中心为O，则在下列各结论中正确的共有()①OA＋OD与OB′＋OC′是一对相反向量；②OB－OC与OA′－OD′是一对相反向量；③OA＋OB＋OC＋OD与OA′＋OB′＋OC′＋OD′是一对相反向量；④OA′－OA与OC－OC′是一对相反向量．A．1个B．2个C．3个D.4个解析：选C.2如图所示，①OA＝－OC′，OD＝－OB′，所以OA＋OD＝－(OB′＋OC′)，是一对相反向量；②OB－OC＝CB，OA′－OD′＝D′A′，而CB＝D′A′，故不是相反向量；③同①也是正确的；④OA′－OA＝AA′，OC－OC′＝C′C＝－AA′，是一对相反向量．12．下列说法中，错误的个数为()①在正方体ABCDA1B1C1D1中，AC＝A1C1；②若两个非零向量AB与CD满足AB＝－CD，则AB，CD互为相反向量．③AB＝CD的充要条件是A与C重合，B与D重合．A．1B．2C．3D.0解析：选A.①正确．②正确.AB＝－CD，且AB，CD为非零向量，所以AB，CD互为相反向量．③错误．由AB＝CD，知|AB|＝|CD|，且AB与CD同向，但A与C...
