第五节空间向量的应用(二)——求空间角课时作业练1.(2018江苏如皋中学高三阶段练习)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB⊥AC,顶点A1在底面ABC上的投影恰为点B,且AB=AC=A1B=2.(1)求棱AA1与BC所成角的大小;(2)在棱B1C1上确定一点P,使AP=√14,并求出二面角P-AB-A1的余弦值.解析(1)如图,以A为原点建立空间直角坐标系,则C(2,0,0),B(0,2,0),A1(0,2,2),B1(0,4,2),⃗AA1=(0,2,2),⃗BC=⃗B1C1=(2,-2,0).cos<⃗AA1,⃗BC>=⃗AA1·⃗BC|⃗AA1|·|⃗BC|=-4√8×√8=-12,故棱AA1与BC所成的角是π3.(2)设⃗B1P=λ⃗B1C1=(2λ,-2λ,0),0≤λ≤1,则P(2λ,4-2λ,2).于是AP=√4λ2+(4-2λ)2+4=√14λ=⇒12(λ=32舍去),1则P为棱B1C1的中点,其坐标为P(1,3,2).设平面PAB的法向量为n1=(x,y,z),则{n1·⃗AP=0,n1·⃗AB=0⇒{x+3y+2z=0,2y=0⇒{x=-2z,y=0.故n1=(-2,0,1).易知平面ABA1的一个法向量是n2=(1,0,0),则cos=n1·n2|n1|·|n2|=-2√5=-2√55,结合题意知二面角P-AB-A1的余弦值是2√55.2.(2019江苏南京高三模拟)如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,AB⊥AD,AD∥BC,AP=AB=AD=1.(1)若直线PB与CD所成角的大小为π3,求BC的长;(2)求二面角B-PD-A的余弦值.解析(1)以{⃗AB,⃗AD,⃗AP}为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系A-xyz.因为AP=AB=AD=1,所以A(0,0,0),B(1,0,0),D(0,1,0),P(0,0,1).设C(1,y,0),则⃗PB=(1,0,-1),⃗CD=(-1,1-y,0).因为直线PB与CD所成角的大小为π3,所以|cos<⃗PB,⃗CD>|=|⃗PB·⃗CD||⃗PB|·|⃗CD|=12,2即1√2·√1+(1-y)2=12,解得y=2或y=0(舍),所以C(1,2,0).所以BC的长为2.(2)设平面PBD的法向量为n1=(x,y,z).因为⃗PB=(1,0,-1),⃗PD=(0,1,-1),则{⃗PB·n1=0,⃗PD·n1=0,即{x-z=0,y-z=0.令x=1,则y=1,z=1,所以n1=(1,1,1).易知平面PAD的一个法向量为n2=(1,0,0),所以cos=n1·n2|n1|·|n2|=√33.由图可知二面角B-PD-A为锐二面角,所以二面角B-PD-A的余弦值为√33.3.(2019南京、盐城高三模拟)如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是菱形,AC与BD交于点O,OP⊥底面ABCD,点M为PC的中点,AC=4,BD=2,OP=4.(1)求直线AP与BM所成角的余弦值;(2)求平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值.3解析(1)因为四边形ABCD是菱形,所以AC⊥BD.又OP⊥底面ABCD,故以O为原点,直线OA,OB,OP分别为x轴,y轴,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.则A(2,0,0),B(0,1,0),P(0,0,4),C(-2,0,0),M(-1,0,2).所以⃗AP=(-2,0,4),⃗BM=(-1,-1,2),⃗AP·⃗BM=10,|⃗AP|=2√5,|⃗BM|=√6.则cos<⃗AP,⃗BM>=⃗AP·⃗BM|⃗AP||⃗BM|=102√5×√6=√306.故直线AP与BM所成角的余弦值为√306.(2)⃗AB=(-2,1,0),⃗BM=(-1,-1,2).设平面ABM的法向量为n=(x,y,z),则由{n·⃗AB=0,n·⃗BM=0,得{-2x+y=0,-x-y+2z=0,令x=2,得y=4,z=3.所以平面ABM的一个法向量为n=(2,4,3).又平面PAC的一个法向量为⃗OB=(0,1,0),所以n·⃗OB=4,|n|=√29,|⃗OB|=1.则cos=n·⃗OB|n||⃗OB|=4√29=4√2929.故平面ABM与平面PAC所成锐二面角的余弦值为4√2929.44.(2018江苏苏州学业阳光指标调研)如图,已知矩形ABCD所在平面垂直于直角梯形ABPE所在平面,且AB=BP=2,AD=AE=1,AE⊥AB,且AE∥BP.(1)求平面PCD与平面ABPE所成的二面角的余弦值;(2)线段PD上是否存在一点N,使得直线BN与平面PCD所成角的正弦值等于25?若存在,试确定点N的位置;若不存在,请说明理由.解析(1)因为平面ABCD⊥平面ABPE,平面ABCD∩平面ABPE=AB,BP⊥AB,BP⊂平面ABPE,所以BP⊥平面ABCD.又AB⊂平面ABCD,BC⊂平面ABCD,所以BP⊥AB,BP⊥BC,又AB⊥BC,所以直线BA,BP,BC两两垂直.以B为原点,分别以BA,BP,BC所在直线为x轴,y轴,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,则P(0,2,0),B(0,0,0),D(2,0,1),E(2,1,0),C(0,0,1).因为BC⊥平面ABPE,所以⃗BC=(0,0,1)为平面ABPE的一个法向量.设平面PCD的法向量为n=(x,y,z),易得⃗PD=(2,-2,1),⃗CD=(2,0,0),则{n·⃗CD=0,n·⃗PD=0,即{2x=0,2x-2y+z=0,令y=1,则z=2,故n=(0,1,2).设平面PCD与平面ABPE所成的二面角为θ,显然0<θ<π2,5又cosθ=n·⃗BC|n|·|⃗BC|=21×√5=2√55,所以平面PCD与平面ABPE所成二面角的余弦值为2√55.(2)存在.假设满足题意的点N存在,设⃗PN=λ⃗PD=(2λ,-2λ,λ)...
