阶段训练三(范围：§2.1～§2.3)一、选择题1．方程＋＝1所表示的曲线是()A．焦点在x轴上的椭圆B．焦点在y轴上的椭圆C．焦点在x轴上的双曲线D．焦点在y轴上的双曲线答案D解析 sinθ－1<0,2sinθ＋3>0，∴方程表示焦点在y轴上的双曲线．2.如图所示，共顶点的椭圆①，②与双曲线③，④的离心率分别为e1，e2，e3，e4，其大小关系为()A．e1b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，上顶点为B.若|BF2|＝|F1F2|＝2，则该椭圆的方程为()A.＋＝1B.＋y2＝1C.＋y2＝1D.＋y2＝1答案A解析 |BF2|＝|F1F2|＝2，∴a＝2c＝2，∴a＝2，c＝1，∴b＝，∴椭圆的方程为＋＝1.4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，以|F1F2|为直径的圆与双曲线渐近线的一个交点为P(3,4)，则此双曲线的方程为()A.－＝1B.－＝11C.－＝1D.－＝1答案C解析由已知条件，得2r＝|F1F2|＝2c，即r＝c，而r＝|OP|＝5.渐近线方程为y＝±x，点P(3,4)在直线y＝x上，所以解得所以双曲线方程为－＝1.5．等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y2＝8x的准线交于A，B两点，且|AB|＝2，则C的实轴长为()A．1B．2C．4D．8考点抛物线的简单几何性质题点抛物线与其他曲线结合有关问题答案B解析设等轴双曲线的方程为x2－y2＝λ(λ≠0)，① 抛物线的方程为y2＝8x，∴2p＝8，p＝4，∴＝2，∴抛物线的准线方程为x＝－2.设等轴双曲线与抛物线的准线x＝－2的两个交点为A(－2，y)，B(－2，－y)(y>0)，则|AB|＝|y－(－y)|＝2y＝2，∴y＝.将x＝－2，y＝代入①，得(－2)2－()2＝λ，即λ＝1，∴等轴双曲线C的方程为x2－y2＝1，∴C的实轴长为2.6．一条直线过点，且与抛物线y2＝x交于A，B两点．若|AB|＝4，则弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于()A.B．2C.D．4考点抛物线的焦点弦问题题点与焦点弦有关的其他问题答案C解析 抛物线方程为y2＝x，∴其焦点坐标为，准线方程为x＝－，∴直线AB过抛物线焦点，∴由抛物线的定义知，弦AB的中点到直线x＝－的距离为2，∴弦AB的中点到直线x＋＝0的距离等于2＋＝.二、填空题7．设中心在原点的双曲线与椭圆＋y2＝1有公共的焦点，且它们的离心率互为倒数，则该双曲线的方程是________________．2答案2x2－2y2＝1解析椭圆的焦点为(±1,0)，∴双曲线的焦点为(±1,0)，设双曲线的方程为－＝1，椭圆的离心率e＝，∴双曲线的离心率e′＝，∴c2＝1＝2a2.又c2－a2＝b2，∴a2＝b2＝，故所求双曲线方程为2x2－2y2＝1.8．已知斜率为2的直线l过抛物线y2＝ax(a>0)的焦点F，且与y轴相交于点A，若△OAF(O为坐标原点)的面积为4，则抛物线的方程为________．答案y2＝8x解析依题意得|OF|＝，又直线l的斜率为2，可知|AO|＝2|OF|＝，△AOF的面积等于|AO||OF|＝＝4，则a2＝64.又a>0，所以a＝8，所以抛物线的方程是y2＝8x.9.如图所示，已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点恰好是椭圆＋＝1的右焦点F，且两条曲线的交点连线也过焦点F，则该椭圆的离心率为________．答案－1解析设椭圆的左焦点为F′，抛物线与椭圆在第一象限的交点为A，连接AF′，∴F，F′，可得焦距|FF′|＝p＝2c(c＝，为椭圆的半焦距)．对抛物线方程y2＝2px，令x＝，得y2＝p2，所以|AF|＝|yA|＝p.∴在Rt△AFF′中，|AF|＝|FF′|＝p，可得|AF′|＝p，再根据椭圆的定义，可得|AF|＋|AF′|＝2a＝(1＋)p，∴该椭圆的离心率为e＝＝＝＝－1.10．点P在椭圆x2＋＝1上，点Q在直线y＝x＋4上，若|PQ|的最小值为，则m＝________.答案3解析根据题意，与直线y＝x＋4平行且距离为的直线方程为y＝x＋2或y＝x＋6(舍去)，联立消去y，得(m＋1)x2＋4x＋4－m＝0，令Δ＝16－4(m＋1)(4－m)＝0，3解得m＝0或m＝3， m>0，∴m＝3.11．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的焦距为2c，右顶点为A，抛物线x2＝2py(p＞0)的焦点为F.若双曲线截抛物线的准线所得线段长为2c，且|FA|＝c，则双曲线的渐近线方程为________．答案y＝±x解析抛物线的准线方程为y＝－，焦点为F，∴a2...
