高中数学 第一章 解三角形 1.2 应用举例 第1课时 应用举例（一）限时规范训练 新人教A版必修5-新人教A版高二必修5数学试题VIP免费

第1课时应用举例（一）【基础练习】1．如图，从气球A测得正前方的两个场馆B，C的俯角分别为α，β，此时气球的高度为h，则两个场馆B，C间的距离为()A．B．C．D．【答案】B【解析】过A作垂线AD交BC的延长线于D，则在Rt△ADB中，∠ABD＝α，AB＝.又在△ACB中，∠ACB＝π－β，∠BAC＝β－α，由正弦定理，得BC＝，即两个场馆B，C间的距离为.故选B．2．某工程中要将一长为100m倾斜角为75°的斜坡，改造成倾斜角为30°的斜坡，并保持坡高不变，则坡底需加长()A．100mB．100mC．50(＋)mD．200m【答案】A【解析】如图，由条件知，AC＝100m，∠B＝30°，∠ACD＝75°，∴∠BAC＝45°.由正弦定理得＝，∴BC＝＝100(m)．3．已知A，B两地的距离为10km，B，C两地的距离为20km，现测得∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为()A．10kmB．10kmC．10kmD．10km【答案】A【解析】在△ABC中，AB＝10(km)，BC＝20(km)，∠ABC＝120°，则由余弦定理，得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos∠ABC＝100＋400－2×10×20cos120°＝100＋400－2×10×20×＝700，∴AC＝10km，即A，C两地的距离为10km.4．如图，为测得河对岸塔AB的高，先在河岸上选一点C，使C在塔底B的正东方向上，测得点A的仰角为60°，再由点C沿北偏东15°方向走10m到位置D，测得∠BDC＝45°，则塔AB的高是(单位：米)()1A．10B．10C．10D．10【答案】B【解析】设塔高为x米，根据题意可知在△ABC中，∠ABC＝90°，∠ACB＝60°，AB＝x，从而有BC＝x.在△BCD中，CD＝10，∠BCD＝90°＋15°＝105°，∠BDC＝45°，∠CBD＝30°，由正弦定理得＝，BC＝＝10＝x，解得x＝10，所以塔AB的高是10米．故选B．5．学校里有一棵树，甲同学在A地测得树尖的仰角为45°，乙同学在B地测得树尖的仰角为30°，量得AB＝AC＝10m，树根部为C(A，B，C在同一水平面上)，则∠ACB＝________.【答案】30°【解析】如图，AC＝10，∠DAC＝45°，∴DC＝10. ∠DBC＝30°，∴BC＝10，cos∠ACB＝＝，∴∠ACB＝30°.6．(2019年广西南宁期末)如图，在山脚A测得山顶P的仰角为α＝30°，沿倾斜角β＝15°的斜坡向上走a米到B，在B处测得山顶P的仰角γ＝60°，则山高PQ＝________米．【答案】a【解析】在△PAB中，∠PAB＝α－β＝15°，∠BPA＝(90°－α)－(90°－γ)＝γ－α＝30°，∠PBA＝135°，所以＝，则PA＝a.所以PQ＝PAsinα＝asin30°＝a(米)．7．如图，在一条海防警戒线上的点A，B，C处各有一个水声检测点，B，C到A的距离分别为20千米和50千米，某时刻B收到来自静止目标P的一个声波信号，8秒后A，C同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是1.5千米/秒．(1)设A到P的距离为x千米，用x表示B，C到P的距离，并求出x的值；(2)求P到海防警戒线AC的距离．【解析】(1)依题意，有PA＝PC＝x，PB＝x－1.5×8＝x－12.在△PAB中，AB＝20，cos∠PAB＝＝＝，同理，在△PAC中，AC＝50，cos∠PAC＝＝＝.2 cos∠PAB＝cos∠PAC，∴＝，解得x＝31.(2)如图，过点P作PD⊥AC于交AC于点D．由PA＝PC，可得AD＝AC＝25.又PA＝31，∴PD＝＝＝4.故P到海防警戒线AC的距离为4千米．【能力提升】8．若甲船在B岛的正南方A处，AB＝10km，甲船以4km/h的速度向正北航行，同时，乙船自B岛出发以6km/h的速度向北偏东60°的方向驶去，在甲船到达B之前，当甲、乙两船相距最近时，它们的航行时间是()A．minB．hC．21.5minD．2.15h【答案】A【解析】设航行时间为t，如图，∠CBD＝120°，BD＝10－4t，BC＝6t.在△BCD中，利用余弦定理，得CD2＝(10－4t)2＋(6t)2－2×(10－4t)×6t×cos120°＝28t2－20t＋100.当t＝＝(h)，即min时，CD2最小．9．(2019年浙江宁波期末)某大学的大门蔚为壮观，有个学生想搞清楚门洞拱顶D到其正上方A点的距离，他站在地面C处，利用皮尺测得BC＝9米，利用测角仪器测得仰角∠ACB＝45°，测得视角∠ACD后通过计算得到sin∠ACD＝，则AD的高度为()A．2米B．2.5米C．3米D．4米【答案】C【解析】设AD＝x，则BD＝9－x，CD＝，在△ACD中，由正弦定理得＝，即＝，所以2[92＋(9－x)2]＝26x2.整理得2x2＋3x－27＝0，即(2x＋9)(x－3)＝0，所以x＝3(米)．10．如图所示，为了测量A，B处岛屿的距离，小明在D处观测...