2.5圆锥曲线的统一定义[基础达标]在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此双曲线的右焦点的距离为________．解析：由圆锥曲线的共同性质得＝e＝＝2，d为点M到右准线x＝1的距离，则d＝2，所以MF＝4.答案：4椭圆＋＝1的准线垂直于y轴，则实数m的取值范围为________．解析：由题意(m－1)2>m2，m≠1且m≠0解得m<且m≠0.答案：m<且m≠0已知椭圆的两个焦点将长轴三等分，焦点到相应准线距离为8，则此椭圆的长轴长为________．解析：由题意得2c＝，－c＝8，解得a＝3，∴2a＝6.答案：6平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F,右准线为l，短轴的一个端点为B.设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2,若d2＝d1，则椭圆C的离心率为________．解析：依题意，d2＝－c＝.又BF＝＝a，所以d1＝.由已知可得＝·，所以c2＝ab，即6c4＝a2(a2－c2)，整理可得a2＝3c2，所以离心率e＝＝.答案：已知椭圆＋＝1上一点P到右准线的距离为10，则点P到它的左焦点的距离为________．解析：设F1，F2分别为椭圆的左，右焦点，P到左准线的距离为d1，P到右准线的距离为d2＝10，由圆锥曲线的统一定义知，＝＝，解得PF2＝6，又PF1＋PF2＝2a＝10，解得PF1＝4，故P到它的左焦点距离为4.答案：4如果双曲线－＝1上一点P到双曲线右焦点的距离是2，那么点P到y轴的距离是________．解析：由双曲线方程可知a＝2，b＝，c＝，e＝，设F1，F2分别为双曲线的左，右焦点，设P点坐标为(x，y)，由已知条件知P点在右支上，且PF2＝ex－a＝2，解得x＝.答案：设双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，且它的一条准线与抛物线y2＝4x的准线重合，则此双曲线方程为________．解析：由题意得＝，＝1，得a＝，c＝3，则b2＝6，所以此双曲线方程为－＝1.答案：－＝1设F1，F2分别是椭圆＋＝1(a>b>0)的左，右焦点，P是其右准线上纵坐标为c(c为半焦距)的点，且F1F2＝F2P，则椭圆的离心率是________．解析：如图有P(，c)，设右准线交x轴于H点， F2P＝F1F2＝2c，且PH＝c，故∠PF2H＝60°，∴F2H＝c，OH＝＝2c⇒e2＝⇒e＝或－(舍)．答案：设椭圆的左焦点为F，AB为椭圆中过点F的弦，试分析以AB为直径的圆与椭圆的左准线的位置关系．解：设M为弦AB的中点(即以AB为直径的圆的圆心)，A1，B1，M1分别是A、M、B在准线l上的射影(如图)．由圆锥曲线的统一定义得AB＝AF＋BF＝e(AA1＋BB1)＝2eMM1. 0
