§3.2立体几何中的向量方法单元过关试卷第1课时空间向量与平行关系一、基础过关1．已知a＝(2,4,5)，b＝(3，x，y)分别是直线l1、l2的方向向量．若l1∥l2，则()A．x＝6，y＝15B．x＝3，y＝C．x＝3，y＝15D．x＝6，y＝2．直线l的方向向量为a，平面α内两共点向量OA，OB，下列关系中能表示l∥α的是()A．a＝OAB．a＝kOBC．a＝pOA＋λOBD．以上均不能3．若n＝(2，－3,1)是平面α的一个法向量，则下列向量中能做平面α法向量的是()A．(0，－3,1)B．(2,0,1)C．(－2，－3,1)D．(－2,3，－1)4.如图，在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，M、P、Q分别为棱AB、CD、BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.以上结论中正确的是()A．①③④B．①②③④C．①③D．③④高中数学选修2-1：空间向量与立体几何（共2页）第1页5．设平面α的法向量为(1,2，－2)，平面β的法向量为(－2，－4，k)，若α∥β，则k等于()A．2B．－4C．4D．－26．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则()A．l∥αB．l⊂αC．l⊥αD．l⊂α或l∥α7．已知直线l1的一个方向向量为(－7,3,4)，直线l2的一个方向向量为(x，y,8)，且l1∥l2，则x＝______，y＝______.8．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y,2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________.9．已知A(4,1,3)，B(2,3,1)，C(3,7，－5)，点P(x，－1，3)在平面ABC内，则x＝______.二、能力提升10．在正方体ABCD—A1B1C1D1中，E，F分别是BB1，DC的中点，求证：AE是平面A1D1F的法向量．11.如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，1AB＝，AF＝1，M是线段EF的中点．求证：AM∥平面BDE.12.如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求证：MN∥平面A1BD.三、探究与拓展13.如图所示，在正方体AC1中，O为底面ABCD中心，P是DD1的中点，设Q是CC1上的点，问：当点Q在什么位置时，平面D1BQ∥平面PAO?高中数学选修2-1：空间向量与立体几何（共2页）第2页2答案1．D2.D3.D4.A5.C6.D7．－1468.－39．1110．证明设正方体的棱长为1，建立如图所示的空间直角坐标系，则A(1,0,0)，E，D1(0,0,1)，F，A1(1,0,1)，AE＝，D1F＝，A1D1＝(－1,0,0)．∵AE·D1F＝·＝－＝0，AE·A1D1＝·(－1,0,0)＝0，∴AE⊥D1F，AE⊥A1D1.又A1D1∩D1F＝D1，∴AE⊥平面A1D1F，∴AE是平面A1D1F的法向量．11．证明建立如图所示的空间直角坐标系．设AC∩BD＝N，连接NE，则点N、E的坐标分别是、(0,0,1)．∴NE＝.又点A、M的坐标分别是(，，0)、，∴AM＝.∴NE＝AM，且A∉NE，∴NE∥AM.又∵NE⊂平面BDE，AM⊄平面BDE，∴AM∥平面BDE.12.证明方法一如图，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，可求得M，N，D(0,0,0)，A1(1,0,1)，于是MN＝，DA1＝(1,0,1)．得DA1＝2MN，∴DA1∥MN，∴DA1∥MN.而MN⊄平面A1BD，∴MN∥平面A1BD.方法二由方法一中的坐标系知B(1,1,0)．设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)，则n·DA1＝0，且n·DB＝0，得取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．又MN·n＝·(1，－1，－1)＝0，∴MN⊥n.∴MN∥平面A1BD.13.解如图所示，分别以DA、DC、DD1所在直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，在CC1上任取一点Q，连接BQ，D1Q.设正方体的棱长为1，则O，P，3A(1,0,0)，B(1,1,0)，D1(0,0,1)，则Q(0,1，z)，则OP＝，BD1＝(－1，－1,1)，∴OP∥BD1，∴OP∥BD1.AP＝，BQ＝(－1,0，z)，当z＝时，AP＝BQ，即AP∥BQ，有平面PAO∥平面D1BQ，∴当Q为CC1的中点时，平面D1BQ∥平面PAO.4
