2.4.2抛物线的几何性质[A基础达标]1．顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程是()A．y2＝xB．y2＝3xC．y2＝6xD．y2＝－6x解析：选C．顶点在原点，焦点为F的抛物线的标准方程可设为y2＝2px(p>0)，由题意知＝，故p＝3.因此，所求抛物线的标准方程为y2＝6x.2．已知直线y＝kx－k(k为实数)及抛物线y2＝2px(p>0)，则()A．直线与抛物线有一个公共点B．直线与抛物线有两个公共点C．直线与抛物线有一个或两个公共点D．直线与抛物线没有公共点解析：选C．因为直线y＝kx－k恒过点(1，0)，点(1，0)在抛物线y2＝2px的内部，所以当k＝0时，直线与抛物线有一个公共点，当k≠0时，直线与抛物线有两个公共点．3．过抛物线C：y2＝12x的焦点作直线l交C于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，若x1＋x2＝6，则|AB|＝()A．16B．12C．10D．8解析：选B．由抛物线的方程可得p＝6，因为x1＋x2＝6，则|AB|＝x1＋x2＋p＝12.故选B．4．设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是()A．B．[－2，2]C．[－1，1]D．[－4，4]解析：选C．由题意知点Q的坐标为(－2，0)，若直线l的斜率不存在，显然不符合题意，故直线l的斜率存在，且设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y＝k(x＋2)，与抛物线方程y2＝8x联立，得k2x2＋4(k2－2)x＋4k2＝0，当k＝0时，显然符合题意；当k≠0时，需Δ≥0，即16(k2－2)2－4k2·4k2≥0，解得－1≤k<0或0＜k≤1.5．已知抛物线y2＝2px(p>0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2解析：选B．因为抛物线的焦点为F，所以过焦点且斜率为1的直线方程为y＝x－，即x＝y＋，代入y2＝2px得y2＝2p＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0，由根与系数的关系得＝p＝2(y1，y2分别为点A，B的纵坐标)，所以抛物线方程为y2＝4x，准线方程为x＝－1.6．抛物线y＝x2上一点A(x0，2)到其对称轴的距离为________．解析：抛物线的对称轴为y轴，把A(x0，2)代入y＝x2，得x＝16，即|x0|＝4，故A到y轴的距离为4.答案：47．已知过抛物线y2＝4x的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，|AF|＝2，则|BF|＝________．解析：因为y2＝4x，所以p＝2，F(1，0)．又|AF|＝2，所以xA＋＝2，所以xA＋1＝2，所以xA1＝1，即AB⊥x轴，F为AB的中点，所以|BF|＝|AF|＝2.答案：28．已知A(2，0)，B为抛物线y2＝x上的一点，则|AB|的最小值为________．解析：设点B(x，y)，则x＝y2≥0，所以|AB|＝＝＝＝.所以当x＝时，|AB|取得最小值，且|AB|min＝.答案：9．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程．解：设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，设A(x0，y0)，由题知M.因为|AF|＝3，所以y0＋＝3，因为|AM|＝，所以x＋＝17，所以x＝8，代入方程x＝2py0得，8＝2p，解得p＝2或p＝4.所以所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.10．已知抛物线y2＝－x与直线y＝k(x＋1)相交于A、B两点．(1)求证：OA⊥OB；(2)当△OAB的面积等于时，求k的值．解：(1)证明：设A(－y，y1)，B(－y，y2)．由，得ky2＋y－k＝0，由题意知k≠0，所以y1y2＝－1，y1＋y2＝－.所以OA·OB＝y1y2＋yy＝y1y2(1＋y1y2)＝0，所以OA⊥OB.(2)由(1)知|y1－y2|＝＝，所以S△OAB＝·1·|y2－y1|＝＝，所以k＝±.[B能力提升]11．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为()A．2B．4C．6D．8解析：选B．由题意，不妨设抛物线方程为y2＝2px(p＞0)，由|AB|＝4，|DE|＝2，可取A，D，设O为坐标原点，由|OA|＝|OD|，得＋8＝＋5，得p＝4，所以选B．12．在直角坐标系xOy中任给一条直线，它与抛物线y2＝2x交于A、B两点，则OA·OB的取值范围为________．解析：设直线方程为x＝ty＋b，代入抛物线y2＝2x，得y2－2ty－2b＝0，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1＋y2＝2t，y1y2＝－2b.所以OA·OB＝x1x2＋y1y2＝(ty1＋b)(ty2＋b)＋y1y2＝b2－2b＝(b－1)2－1，所以OA·OB的取值范围为[－1，＋∞)．答案：[－1，＋∞)13．已知M(3，y0)(y0>...
