数列专练·作业(二十五)1．(2015·湖北黄冈模拟)数列{an}的前n项和记为Sn，a1＝1，点(Sn，an＋1)在直线y＝2x＋1上，n∈N*.(1)求证：数列{an}是等比数列，并求数列{an}的通项公式an；(2)设bn＝log3an＋1，Tn是数列{}的前n项和，求T2015的值．解析(1)由题意得an＋1＝2Sn＋1，an＝2Sn－1＋1(n≥2)，两式相减，得an＋1－an＝2an，即an＋1＝3an(n≥2)．∵a1＝1，∴a2＝2S1＋1＝3，∴{an}是首项为1，公比为3的等比数列．∴an＝3n－1.(2)由(1)得知an＝3n－1，bn＝log3an＋1＝n，＝＝－，T2015＝＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝.2．(2015·河南联考)已知数列{an}满足前n项和Sn＝n2＋1，数列{bn}满足bn＝，且前n项和为Tn，设cn＝T2n＋1－Tn.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)判断数列{cn}的单调性；(3)当n≥2时，T2n＋1－Tn<－loga(a－1)恒成立，求a的取值范围．解析(1)当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1.∴数列{bn}的通项公式为bn＝(2)∵cn＝T2n＋1－Tn，∴cn＝bn＋1＋bn＋2＋…＋b2n＋1＝＋＋…＋.∴cn＋1－cn＝＋－＝－＝－<0.∴数列{cn}是递减数列．(3)由(2)知，当n≥2时，c2＝＋＋为最大，∴＋＋<－loga(a－1)恒成立，即loga(a－1)<－1.由真数a－1>0，得a>1，∴a－1<.整理为a2－a－1<0，解得1
0，∴Tn<3.5．(2015·河南郑州月考)数列{an}的前n项和为Sn，Sn＋an＝－n2－n＋1(n∈N*)．(1)设bn＝an＋n，证明：数列{bn}是等比数列；(2)求数列{nbn}的前n项和Tn；(3)若cn＝()n－an，P＝，求不超过P的最大的整数值．解析(1)因为an＋Sn＝－n2－n＋1，所以，当n＝1时，2a1＝－1，则a1＝－；当n≥2时，an－1＋Sn－1＝－(n－1)2－(n－1)＋1，所以2an－an－1＝－n－1，即2(an＋n)＝an－1＋n－1.所以bn＝bn－1(n≥2)，而b1＝a1＋1＝.所以数列{bn}是首项为，公比为的等比数列，所以bn＝()n.(2)由(1)得nbn＝.所以Tn＝＋＋＋＋…＋＋，①2Tn＝1＋＋＋＋…＋＋，②②－①得Tn＝1＋＋＋…＋－，∴Tn＝－＝2－.(3)由(1)知an＝()n－n，又∵cn＝()n－an，∴cn＝n.∴＝1＋＝1＋＝1＋－.所以P＝＝(1＋－)＋(1＋－)＋(1＋－)＋…＋(1＋－)＝2014－.故不超过P的最大整数为2013.
