高中数学6.2.1直接证明：分析法与综合法同步精练湘教版选修2-21．已知p＝a＋(a＞2)，q＝2－a2＋4a－2(a＞2)，则()．A．p＞qB．p＜qC．p≥qD．p≤q2．给定空间中的直线l及平面α，条件“直线l与平面α内两条相交直线都垂直”是“直线l与平面α垂直”的()．A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件3．设a，b∈R，若a－|b|＞0，则下列不等式中正确的是()．A．b－a＞0B．a3＋b3＜0C．a2－b2＜0D．b＋a＞04．若直线＋＝1与圆x2＋y2＝1有公共点，则()．A．a2＋b2≤1B．a2＋b2≥1C．＋≤1D．＋≥15．若sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则cos(α－β)＝()．A．B．－C．1D．－16．设a＝，b＝－，c＝－，则a，b，c的大小关系为__________．7．已知A，B是△ABC的两个内角，向量m＝cosi＋sinj，其中i，j为相互垂直的单位向量．若|m|＝，则tanAtanB＝________.8．已知函数f(x)＝x2－cosx，对于上的任意x1，x2，有如下条件：①x1＞x2；②x＞x；③|x1|＞x2.其中能使f(x1)＞f(x2)恒成立的条件序号是__________．9．设a，b为正实数，且a≠b，求证：a3＋b3＞a2b＋ab2.10．设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，a2＝6，a3＝11，且(5n－8)Sn＋1－(5n＋2)Sn＝An＋B，n＝1,2,3，…，其中A，B为常数．(1)求A与B的值；(2)证明数列{an}为等差数列．1参考答案1．A∵a＞2，∴p＝a＋＝a－2＋＋2≥2＋2＝4.而，∵a＞2，∴－(a－2)2＋2＜2.∴＜22＝4.∴q＜4.∴p＞q.2．C3．D由a＞|b|得－a＜b＜a，∴a＋b＞0，且a－b＞0.∴b－a＜0，选项A不正确．a3＋b3＝(a＋b)(a2－ab＋b2)＝(a＋b)，∴a3＋b3＞0，选项B不正确．而a2－b2＝(a－b)(a＋b)＞0，∴选项C不正确．4．D∵直线与圆有公共点，即与圆相交或相切，由＋＝1整理得bx＋ay－ab＝0.∴≤1，即＋≥1.5．B观察已知条件中有α，β，γ三个角，而所求结论中只有α，β两个角，所以只需将已知条件中的角γ消去即可，依据sin2γ＋cos2γ＝1消去γ.即sinγ＝－(sinα＋sinβ)，cosγ＝－(cosα＋cosβ)，∴(sinα＋sinβ)2＋(cosα＋cosβ)2＝sin2γ＋cos2γ＝1，整理，得cos(α－β)＝－.6．a＞c＞b可通过作差进行比较，a－b＝＋－，可进一步比较＋与的大小，即比较(＋)2与7的大小，即5＋2与7的大小，∵＞2，∴5＋2＞7.∴a＞b.同理可比较a与c，b与c的大小．7．∵|m|＝，∴cos2＋sin2＝.∴＋·＝，即cos(A－B)－cos(A＋B)＝0.∴cos(A－B)＝cos(A＋B)，cosAcosB＋sinAsinB＝cosAcosB－sinAsinB.∴sinAsinB＝cosAcosB.∴tanAtanB＝.8．②由于函数y＝x2在上为减函数，y＝－cosx在上为减函数，∴f(x)＝x2－cosx在上为减函数．又函数y＝x2与y＝－cosx在上同为增函数，∴f(x)＝x2－cosx在上为增函数．又函数y＝x2－cosx为上的偶函数，图象关于y轴对称，因此离对称轴越远的点的函数值越大．②中，x＞x，即|x1|＞|x2|，能使f(x1)＞f(x2)恒成立．9．证法一：(分析法)2要证a3＋b3＞a2b＋ab2成立，只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)成立．又因为a＋b＞0成立，只需证a2－ab＋b2＞ab成立，即证a2－2ab＋b2＞0成立，即证(a－b)2＞0成立，而依题设a≠b，则(a－b)2＞0显然成立，由此命题得证．证法二：(综合法)a≠b⇒a－b≠0⇒(a－b)2＞0⇒a2－2ab＋b2＞0⇒a2－ab＋b2＞ab.注意到a，b为正实数，a＋b＞0，由上式即得(a＋b)(a2－ab＋b2)＞ab(a＋b)．∴a3＋b3＞a2b＋ab2.10．(1)解：由已知得S1＝a1＝1，S2＝a1＋a2＝7，S3＝a1＋a2＋a3＝18.由(5n－8)Sn＋1－(5n＋2)Sn＝An＋B知即解得A＝－20，B＝－8.(2)证法一：由(1)得(5n－8)Sn＋1－(5n＋2)Sn＝－20n－8，①∴(5n－3)Sn＋2－(5n＋7)Sn＋1＝－20n－28.②②－①得(5n－3)Sn＋2－(10n－1)Sn＋1＋(5n＋2)Sn＝－20，③∴(5n＋2)Sn＋3－(10n＋9)Sn＋2＋(5n＋7)Sn＋1＝－20.④④－③得(5n＋2)Sn＋3－(15n＋6)Sn＋2＋(15n＋6)Sn＋1－(5n＋2)Sn＝0.∵an＋1＝Sn＋1－Sn，∴(5n＋2)an＋3－(10n＋4)an＋2＋(5n＋2)an＋1＝0.又∵5n＋2≠0，∴an＋3－2an＋2＋an＋1＝0，即an＋3－an＋2＝an＋2－an＋1，n≥1.又a3－a2＝a2－a1＝5，∴数列{an}为等差数列．证法二：由已知，S1＝a1＝1，又(5n－8)Sn＋1－(5n＋2)Sn＝－20n－8，且5n－8≠0，∴数列{Sn}是唯一确定的，因而数列{an}是唯一确定的．设bn＝5n－4，则数列{bn}为等差数列，前n项和Tn＝，于是(5n－8)Tn＋1－(5n＋2)Tn＝(5n－8)－(5n＋2)＝－20n－8.由唯一性得bn＝an，即数列{an}为等差数列．3
