学业分层测评(十六)函数的和、差、积、商的导数(建议用时：45分钟)学业达标]一、填空题1.设f(x)＝lna2x(a>0且a≠1)，则f′(1)＝________.【解析】∵f(x)＝lna2x＝2xlna，∴f′(x)＝(2xlna)′＝(2x)′lna＋2x(lna)′＝2lna，故f′(1)＝2lna.【答案】2lna2.函数y＝(2＋x3)2的导数为________.【导学号：24830077】【解析】∵y＝(2＋x3)2＝4＋4x3＋x6，∴y′＝6x5＋12x2.【答案】6x5＋12x23.(2016·宿迁高二检测)函数y＝的导数是________.【解析】y′＝′＝＝.【答案】4.设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0的值为________.【解析】f′(x)＝lnx＋x·＝lnx＋1，因为f′(x0)＝2，所以lnx0＋1＝2，lnx0＝1，x0＝e.【答案】e5.函数f(x)＝(x＋1)2(x－1)在x＝1处的导数等于________.【解析】f(x)＝(x＋1)2(x－1)＝x3＋x2－x－1，f′(x)＝3x2＋2x－1，f′(1)＝3＋2－1＝4.【答案】46.已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)的值为________.【解析】∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，即f′(1)＝－2，∴f′(0)＝2f′(1)＝－4.【答案】－47.(2016·扬州高二检测)若曲线y＝e－x上点P处的切线平行于直线2x＋y＋1＝0，则点P的坐标是________.【解析】设点P的坐标为(x0，y0)，y′＝－e－x.又切线平行于直线2x＋y＋1＝0，所以－e－x0＝－2，可得x0＝－ln2，此时y0＝2，所以点P的坐标为(－ln2,2).【答案】(－ln2,2)8.设f(x)＝ax2－bsinx，且f′(0)＝1，f′＝，则a＝________，b＝________.【解析】∵f′(x)＝2ax－bcosx，f′(0)＝－b＝1得b＝－1，f′＝πa＋＝，得a＝0.【答案】0－1二、解答题9.求下列函数的导数：(1)y＝ex·lnx;(2)y＝x.(3)f(x)＝.【解】(1)y′＝(ex·lnx)′＝exlnx＋ex·＝ex.(2)∵y＝x3＋1＋，∴y′＝3x2－.(3)f′(x)＝ex·10.已知函数f(x)＝x3－4x2＋5x－4.(1)求曲线f(x)在点(2，f(2))处的切线方程；1(2)求经过点A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程.【解】(1)∵f′(x)＝3x2－8x＋5，∴f′(2)＝1，又f(2)＝－2，∴曲线在点(2，f(2))处的切线方程为y＋2＝x－2，即x－y－4＝0.(2)设曲线与经过点A(2，－2)的切线相切于点P(x0，x－4x＋5x0－4)，∵f′(x0)＝3x－8x0＋5，∴切线方程为y－(－2)＝(3x－8x0＋5)(x－2)，又切线过点P(x0，x－4x＋5x0－4)，∴x－4x＋5x0－2＝(3x－8x0＋5)(x0－2)，整理得(x0－2)2(x0－2)＝0，解得x0＝2或1，∴经过A(2，－2)的曲线f(x)的切线方程为x－y－4＝0，或y＋2＝0.能力提升]1.一质点做直线运动，由始点起经过ts后的距离为s＝t4－4t3＋16t2，则速度为零的时刻是________.【导学号：24830078】【解析】v＝s′＝t3－12t2＋32t.令v＝0，则t＝0,4,8.【答案】0s,4s,8s2.已知点P在曲线y＝上，α为曲线在点P处的切线的倾斜角，则α的取值范围是________.【解析】y′＝′＝＝，－1≤＜0，即－1≤tanα＜0，由正切函数图象得α∈.【答案】3.设f(x)＝(ax＋b)sinx＋(cx＋d)cosx，若已知f′(x)＝xcosx，则f(x)＝________.【解析】∵f′(x)＝(ax＋b)sinx]′＋(cx＋d)cosx]′＝(ax＋b)′sinx＋(ax＋b)(sinx)′＋(cx＋d)′cosx＋(cx＋d)(cosx)′＝asinx＋(ax＋b)cosx＋ccosx－(cx＋d)sinx＝(a－d－cx)sinx＋(ax＋b＋c)cosx.为使f′(x)＝xcosx，应满足解方程组，得从而可知，f(x)＝xsinx＋cosx.【答案】xsinx＋cosx4.已知函数f(x)＝x3－2x2＋3x(x∈R)的图象为曲线C.(1)求过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围；(2)若在曲线C上存在两条相互垂直的切线，求其中一条切线与曲线C的切点的横坐标的取值范围.【解】(1)由题意得f′(x)＝x2－4x＋3，则f′(x)＝(x－2)2－1≥－1，即过曲线C上任意一点切线斜率的取值范围是－1，＋∞).(2)设曲线C的其中一条切线的斜率为k，则由(2)中条件并结合(1)中结论可知，解得－1≤k＜0或k≥1，故由－1≤x2－4x＋3＜0或x2－4x＋3≥1，得x∈(－∞，2－]∪(1,3)∪2＋，＋∞).2
