3.1.3两个向量的数量积[A基础达标]1．已知e1，e2为单位向量，且e1⊥e2，若a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为()A．－6B．6C．3D．－3解析：选B．由题意可得a·b＝0，e1·e2＝0，|e1|＝|e2|＝1，所以(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0，所以2k－12＝0，所以k＝6.2．已知空间四边形ABCD的每条边和对角线的长都等于a，点E，F分别是BC，AD的中点，则AE·AF的值为()A．a2B．a2C．a2D．a2解析：选C．AE·AF＝(AB＋AC)·AD＝(AB·AD＋AC·AD)＝(a×a×＋a×a×)＝a2.3．已知四边形ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，连接AC，BD，PB，PC，PD，则下列各组向量中，数量积不为零的是()A．PC与BDB．DA与PBC．PD与ABD．PA与CD解析：选A．可用排除法．因为PA⊥平面ABCD，所以PA⊥CD，PA·CD＝0，排除D．又因为AD⊥AB，所以AD⊥PB，所以DA·PB＝0，同理PD·AB＝0，排除B，C，故选A．4．如图，已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，则PC等于()A．6B．6C．12D．144解析：选C．因为PC＝PA＋AB＋BC，所以PC2＝PA2＋AB2＋BC2＋2PA·AB＋2PA·BC＋2AB·BC＝36＋36＋36＋2×36cos60°＝144，所以PC＝12.5．设平面上有四个互异的点A，B，C，D，已知(DB＋DC－2DA)·(AB－AC)＝0，则△ABC是()A．直角三角形B．等腰三角形C．等腰直角三角形1D．等边三角形解析：选B．因为DB＋DC－2DA＝(DB－DA)＋(DC－DA)＝AB＋AC，所以(AB＋AC)·(AB－AC)＝|AB|2－|AC|2＝0，所以|AB|＝|AC|，即△ABC是等腰三角形．6．在空间四边形ABCD中，AB·CD＋BC·AD＋CA·BD＝________．解析：原式＝AB·CD＋BC·AD＋CA·(AD－AB)＝AB·(CD－CA)＋AD·(BC＋CA)＝AB·AD＋AD·BA＝0.答案：07．如图，已知四棱柱ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是矩形，AB＝4，AA1＝3，∠BAA1＝60°，E为棱C1D1的中点，则AB·AE＝________．解析：AE＝AA1＋AD＋AB，AB·AE＝AB·AA1＋AB·AD＋AB2＝4×3×cos60°＋0＋×42＝14.答案：148．如图，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各条棱长都相等，M是侧棱CC1的中点，则异面直线AB1和BM所成的角的大小是________．解析：不妨设棱长为2，则AB1＝BB1－BA，BM＝BC＋BB1，cos〈AB1，BM〉＝＝＝0，所以〈AB1，BM〉＝90°.答案：90°9．如图，在三棱柱ABCA1B1C1中，M，N分别是A1B，B1C1上的点，且BM＝2A1M，C1N＝2B1N.设AB＝a，AC＝b，AA1＝c.(1)试用a，b，c表示向量MN；(2)若∠BAC＝90°，∠BAA1＝∠CAA1＝60°，AB＝AC＝AA1＝1，求MN的长．解：(1)MN＝MA1＋A1B1＋B1N＝BA1＋AB＋B1C1＝(c－a)＋a＋(b－a)＝a＋b＋c.(2)因为(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2a·b＋2b·c＋2a·c2＝1＋1＋1＋0＋2×1×1×＋2×1×1×＝5，所以|a＋b＋c|＝，所以|MN|＝|a＋b＋c|＝，即MN＝.10．直三棱柱ABCA′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D，E分别为AB，BB′的中点．(1)求证：CE⊥A′D；(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．解：设CA＝a，CB＝b，CC′＝c，根据题意得|a|＝|b|＝|c|，a·b＝b·c＝c·a＝0.(1)证明：易知CE＝b＋c，A′D＝－c＋b－a.所以CE·A′D＝－c2＋b2＝0.所以CE⊥A′D，即CE⊥A′D.(2)易知AC′＝－a＋c，所以|AC′|＝|a|，又CE＝b＋c，所以|CE|＝|a|，所以AC′·CE＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，所以cos〈AC′，CE〉＝＝.即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.[B能力提升]11．已知空间四边形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90°，且AB＝2，CD＝1，则AB与CD所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．90°解析：选C．根据已知∠ACD＝∠BDC＝90°，得AC·CD＝DB·CD＝0，所以AB·CD＝(AC＋CD＋DB)·CD＝AC·CD＋|CD|2＋DB·CD＝|CD|2＝1，所以cos〈AB，CD〉＝＝，所以AB与CD所成的角为60°.12．在三棱锥OABC中，OA⊥OB，OA⊥OC，∠BOC＝60°，OA＝OB＝OC＝2，若E为OA的中点，F为BC的中点，则EF＝________．解析：因为EF＝OF－OE＝(OB＋OC)－OA，所以|EF|2＝(OB＋OC－OA)2＝(2＋2＋2＋2OB·OC－2OB·OA－2OC·OA)．又由已知得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2，OA⊥OB，OA⊥OC，OB·OC＝2×2×＝2，所以|EF|2＝(4＋4＋4＋4)＝4.所以|EF|＝2，即EF＝2.答案：213．如图，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB＝∠C1CD＝∠BCD.3(1)求证：CC...
