二极坐标系一、基础达标1.点P的极坐标为，则点P的直角坐标为()A.(，)B.(，－)C.(2，2)D.(－，)解析x＝ρcosθ＝，y＝ρsinθ＝－.答案B2.点M的直角坐标为，则点M的极坐标可以为()A.B.C.D.解析∵ρ＝＝，且θ＝，∴M的极坐标为.答案C3.下列各点与表示极坐标系中同一点的是()A.B.(2，π)C.D.(2，2π)解析与极坐标相同的点可以表示为(k∈Z)，只有适合.答案C4.在极坐标系中，已知点P1、P2，则|P1P2|等于()A.9B.10C.14D.2解析∠P1OP2＝－＝，∴△P1OP2为直角三角形，由勾股定理可得|P1P2|＝10.答案B5.在极坐标系中，已知点A，B，则A、B两点间的距离为________.解析由公式|AB|＝，得|AB|＝＝＝.答案6.平面直角坐标系中，若点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标为Q的点到极轴所在直线的距离等于________.解析∵点P经过伸缩变换后的点为Q，则极坐标系中，极坐标为Q的点到极轴所在直线的距离等于6＝3.1答案37.在极轴上求与点A距离为5的点M的坐标.解设M(r，0)，∵A，∴＝5，即r2－8r＋7＝0，解得r＝1或r＝7.∴点M的坐标为(1，0)或(7，0).二、能力提升8.下列的点在极轴上方的是()A.(3，0)B.C.D.解析建立极坐标系，由极坐标的定义可得点(3，0)在极轴上，点，在极轴下方，点在极轴上方，故选D.答案D9.点M到极轴所在直线的距离为________.解析依题意，点M到极轴所在的直线的距离为d＝6×sin＝3.答案310.已知极坐标系中，极点为O，0≤θ<2π，M，在直线OM上与点M的距离为4的点的极坐标为________.解析如图，|OM|＝3，∠xOM＝，在直线OM上取点P，Q，使|OP|＝7，|OQ|＝1，显然有|PM|＝|OP|－|OM|＝7－3＝4，|QM|＝|OM|＋|OQ|＝3＋1＝4.点P，Q都满足条件，且∠xOP＝，∠xOQ＝.答案或11.(1)已知点的极坐标分别为A，B，C，D，求它们的直角坐标.(2)已知点的直角坐标分别为A(3，)，B，C(－1，－)，求它们的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π).解(1)根据x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，得A，B，C(－，－)，D(2，－2).(2)根据ρ2＝x2＋y2，tanθ＝得A，B，C.12.在极坐标系中，已知△ABC的三个顶点的极坐标分别为A，B(2，π)，C.(1)判断△ABC的形状；(2)求△ABC的面积.解(1)如图所示，由A，B(2，π)，C得|OA|＝|OB|＝|OC|＝2，∠AOB＝∠BOC＝∠AOC＝.∴△AOB≌△BOC≌△AOC，∴AB＝BC＝CA，故△ABC为等边三角形.2(2)由上述可知，AC＝2OAsin＝2×2×＝2.∴S△ABC＝×(2)2＝3(面积单位).三、探究与创新13.某大学校园的部分平面示意图如图：用点O，A，B，C，D，E，F，G分别表示校门，器材室，操场，公寓，教学楼，图书馆，车库，花园，其中|AB|＝|BC|，|OC|＝600m.建立适当的极坐标系，写出除点B外各点的极坐标(限定ρ≥0，0≤θ<2π且极点为(0，0)).解以点O为极点，OA所在的射线为极轴Ox(单位长度为1m)，建立极坐标系.由|OC|＝600m，∠AOC＝，∠OAC＝，得|AC|＝300m，|OA|＝300m，又|AB|＝|BC|，所以|AB|＝150m.同理，得|OE|＝2|OG|＝300m，所以各点的极坐标分别为O(0，0)，A(300，0)，C，D，E，F(300，π)，G.3
