高中数学 第二章 推理与证明 2.1.1 合情推理习题 新人教A版选修2-2-新人教A版高二选修2-2数学试题VIP专享VIP免费

第一章2.12.1.1合情推理A级基础巩固一、选择题1．平面内的小圆形按照下图中的规律排列，每个图中的圆的个数构成一个数列{an}，则下列结论正确的是(D)①a5＝15；②数列{an}是一个等差数列；③数列{an}是一个等比数列；④数列{an}的递推关系是an＝an－1＋n(n∈N*)．A．①②④B．①③④C．①②D．①④[解析]由于a1＝1，a2＝3，a3＝6，a4＝10，所以有a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4．因此必有a5－a4＝5，即a5＝15，故①正确．同时④正确，而{an}显然不是等差数列也不是等比数列，故②③错误，故选D．2．(2018·潍坊高二检测)已知a1＝1，a2＝，a3＝，a4＝，则数列{an}的一个通项公式为an＝(B)A．B．C．D．3．平面内平行于同一直线的两条直线平行，由此类比到空间中可以得到(D)A．空间中平行于同一直线的两条直线平行B．空间中平行于同一平面的两条直线平行C．空间中平行于同一直线的两个平面平行D．空间中平行于同一平面的两个平面平行4．如图所示的是一串黑白相间排列的珠子，若按这种规律排下去，那么第36颗珠子的颜色是(A)A．白色B．黑色C．白色的可能性较大D．黑色的可能性较大5．(2018·郑州高二检测)下面使用类比推理，得出的结论正确的是(C)A．“若a·3＝b·3，则a＝b”类比推出“若a·0＝b·0，则a＝b”B．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“(a·b)c＝ac·bc”C．“若(a＋b)c＝ac＋bc”类比推出“＝＋(c≠0)”D．“(ab)n＝anbn”类比推出“(a＋b)n＝an＋bn”6．(2017·长春三模)设n∈N＋，则＝(A)A．33…3B．33…3C．33…3D．33…3[解析]＝1＝＝＝33…3个．故选A．二、填空题7．(2018·聊城模拟)高三某班一学习小组的A、B、C、D四位同学周五下午参加学校的课外活动，在课外活动中，有一人在打篮球，有一人在画画，有一人在跳舞，另外一人在散步，①A不在散步，也不在打篮球；②B不在跳舞，也不在散步；③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件；④D不在打篮球，也不在散步；⑤C不在跳舞，也不在打篮球．以上命题都是真命题，那么D在画画．[解析] 以上命题都是真命题，∴对应的情况是：打篮球画画跳舞散步A××B××C××D××则由表格知A在跳舞，B在打篮球，篮球画画跳舞散步A×√×B√××C××D×× ③“C在散步”是“A在跳舞”的充分条件，∴C在散步，则D在画画，故答案为画画．8．观察下列等式：(1＋1)＝2×1；(2＋1)(2＋2)＝22×1×3；(3＋1)(3＋2)(3＋3)＝23×1×3×5；……照此规律，第n个等式可为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．[解析]观察规律，等号左侧第n个等式共有n项相乘，从n＋1到n＋n，等式右端是2n与等差数列{2n－1}前n项的乘积，故第n个等式为(n＋1)(n＋2)…(n＋n)＝2n×1×3×…×(2n－1)．三、解答题9．(2018·德州高二检测)在平面几何里有射影定理：设△ABC的两边AB⊥AC，D是A点在BC上的射影，则AB2＝BD·BC．拓展到空间，在四面体A－BCD中，DA⊥平面ABC，点O是A在平面BCD内的射影，类比平面三角形射影定理，写出△ABC、△BOC、△BDC三者面积之间关系．[解析]将直角三角形的一条直角边长类比到有一侧棱AD与一侧面ABC垂直的四棱锥的侧面ABC的面积，将此直角边AB在斜边上的射影及斜边的长，类比到△ABC在底面的射影△OBC及底面△BCD的面积可得S＝S△OBC·S△DBC．2证明如下：如图，设直线OD与BC相交于点E， AD⊥平面ABE，∴AD⊥AE，AD⊥BC，又 AO⊥平面BCD，∴AO⊥DE，AO⊥BC． AD∩AO＝A，∴BC⊥平面AED，∴BC⊥AE，BC⊥DE．∴S△ABC＝BC·AE，S△BOC＝BC·OE，S△BCD＝BC·DE．在Rt△ADE中，由射影定理知AE2＝OE·DE，∴S＝S△BOC·S△BCD．10．已知等式sin210°＋cos240°＋sin10°cos40°＝，sin26°＋cos236°＋sin6°cos36°＝．请写出一个具有一般性的等式，使你写出的等式包含已知的等式，并证明结论的正确性．[解析]等式为sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝．证明如下：sin2α＋cos2(30°＋α)＋sinαcos(30°＋α)＝sin2α＋＋sinα(cos30°·cosα－sin30°·sinα)＝＋sin2α＋＋sin2α－sin2α＝＋sin2α＋(cos2α－sin2α)＋sin2α－sin2α＝＋sin2α＋cos2α－sin2α＋sin2α－sin2α＝＋sin2α＋(1－2sin2α)...