课时作业6综合法和分析法知识点一综合法和分析法的概念1.下列表述：①综合法是由因导果法；②综合法是顺推法；③分析法是执果索因法；④分析法是间接证明法；⑤分析法是逆推法．其中正确的语句有()A．2个B．3个C．4个D．5个答案C解析由综合法与分析法的定义可知①②③⑤正确．2．要证明＋<＋(a≥0)可选择的方法有多种，其中最合理的是()A．综合法B．类比法C．分析法D．归纳法答案C解析要证＋<＋，只需证2a＋7＋2<2a＋7＋2，只需证<，只需证a(a＋7)<(a＋3)(a＋4)，只需证0<12，此式显然成立．故选用分析法最合理.知识点二综合法的应用3.已知a，b是正数，且a＋b＝1，求证：＋≥4.证明证法一：∵a，b∈R＋且a＋b＝1，∴a＋b≥2.∴≤.∴＋＝＝≥4.证法二：∵a，b∈R＋，∴a＋b≥2>0，＋≥2>0.∴(a＋b)(＋)≥4.又因为a＋b＝1，∴＋≥4.证法三：∵a，b∈R＋，∴＋＝＋＝1＋＋＋1≥2＋2＝4.当且仅当a＝b时，取“＝”号.知识点三分析法的应用4.－<成立的充要条件是()A．ab(b－a)>0B．ab>0且a>bC．ab<0且a
cosA＋cosB＋cosC.证明在锐角三角形ABC中，∵A＋B>，∴A>－B.∴0<－Bsin＝cosB，1即sinA>cosB.①同理sinB>cosC，②sinC>cosA.③由①＋②＋③，得：sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC.易错点表述不规范致错6.设a≥3，求证：－<－.易错分析分析法的一般格式要规范，其关键词“要证”“只需证”“即证”等不能漏掉，这是用分析法证明问题时易忽略的地方．证明要证－<－，只需证＋<＋，即证(＋)2<(＋)2，即证<，即证a(a－3)<(a－1)(a－2)，即证0<2，∵0<2显然成立，∴原不等式成立．一、选择题1．平面内有四边形ABCD和点O，OA＋OC＝OB＋OD，则四边形ABCD为()A．菱形B．梯形C．矩形D．平行四边形答案D解析∵OA＋OC＝OB＋OD，∴OA－OB＝OD－OC，∴BA＝CD，∴四边形ABCD为平行四边形．2．要证a2＋b2－1－a2b2≤0，只需证明()A．2ab－1－a2b2≤0B．a2＋b2－1－≤0C.－1－a2b2≤0D．(a2－1)(b2－1)≥0答案D解析因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0，故选D.3．在△ABC中，A>B是cos2B>cos2A的()A．既不充分也不必要条件B．充分不必要条件C．充要条件D．必要不充分条件答案C解析∵A>B⇔a>b⇔sinA>sinB(由正弦定理得)，又cos2B>cos2A⇔1－2sin2B>1－2sin2A⇔sin2BB⇔cos2B>cos2A.故选C.4．若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋0，y>0，＋＝1，∴x＋＝·＝2＋＋≥2＋2＝4，等号在y＝4x，即x＝2，y＝8时成立，∴x＋的最小值为4，要使不等式m2－3m>x＋有解，应有m2－3m>4，∴m<－1或m>4，故选B.2二、填空题5．设n∈N，a＝－，b＝－，则a，b的大小关系是________．答案a2)，q＝2－a2＋4a－2(a>2)，则p与q的大小关系是________．答案p>q解析p＝a－2＋＋2≥2＋2＝4，－a2＋4a－2＝2－(a－2)2<2，∴q<22＝4≤p.7．如果a＋b>a＋b，则实数a，b应满足的条件是________．答案a≥0，b≥0且a≠b解析a＋b>a＋b⇔a－a>b－b⇔a(－)>b(－)⇔(a－b)(－)>0⇔(＋)(－)2>0，故只需a≠b且a，b都不小于零即可．三、解答题8．设x>y，y>0，证明：不等式(x2＋y2)>(x3＋y3).证明证法一：(分析法)证明原不等式成立，即证(x2＋y2)3>(x3＋y3)2，即证x6＋y6＋3x2y2(x2＋y2)>x6＋y6＋2x3y3，即证3x2y2·(x2＋y2)>2x3y3，因为x>0，y>0，所以只需证x2＋y2>xy.又因为x>0，y>0，所以x2＋y2≥2xy>xy.所以(x2＋y2)>(x3＋y3).证法二：(综合法)因为x>0，y>0，所以(x2＋y2)3＝x6＋y6＋3x2y2·(x2＋y2)≥x6＋y6＋6x3y3>x6＋y6＋2x3y3＝(x3＋y3)2，所以(x2＋y2)>(x3＋y3).9．设a，b∈(0，＋∞)，且a≠b，求证：a3＋b3>a2b＋ab2.证明证法一：要证a3＋b3>a2b＋ab2成立，只需证(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)成立．又因为a＋b>0，所以只需证a2－ab＋b2>ab成立．即需证a2－2ab＋b2>0成立，即需证(a－b)2>0成立．而依题设a≠b，则(a－b)2>0显然成立．由此命题得证．证法二：a≠b⇔a－b≠0⇔(a－b)2>0⇔a2－2ab＋b2>0⇔a2－ab＋b2>ab.因为a>0，b>0，所以a＋b>0，(a＋b)(a2－ab＋b2)>ab(a＋b)．所以a3＋b3>a2b＋ab2.34
