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高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 二 一般形式的柯西不等式优化练习 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题VIP免费

高中数学 第三讲 柯西不等式与排序不等式 二 一般形式的柯西不等式优化练习 新人教A版选修4-5-新人教A版高二选修4-5数学试题_第1页
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二一般形式的柯西不等式[课时作业][A组基础巩固]1.已知x2+y2+z2=1,则x+2y+2z的最大值为()A.1B.2C.3D.4解析:由柯西不等式得(x+2y+2z)2≤(12+22+22)(x2+y2+z2)=9,所以-3≤x+2y+2z≤3.当且仅当x==时,等号成立.所以x+2y+2z的最大值为3.答案:C2.n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是()A.1B.nC.n2D.解析:设n个正数为x1,x2,…,xn,由柯西不等式,得(x1+x2+…+xn)≥2=(1+1+…+1)2=n2.当且仅当x1=x2=…=xn时取等号.答案:C3.设a、b、c为正数,则(a+b+c)·(++)的最小值为()A.11B.121C.49D.7解析:(a+b+c)·≥2=121.答案:B4.设a,b,c均为正数且a+b+c=9,则++的最小值为()A.81B.9C.7D.49解析:考虑以下两组向量:u=,v=(,,).由(u·v)2≤|u|2·|v|2得2≤(a+b+c),当且仅当==,即a=2,b=3,c=4时取等号,可得·9≥(2+3+4)2=81,所以++≥=9.答案:B5.设非负实数α1,α2,…,αn满足α1+α2+…+αn=1,则y=++…+-n的最小值为()A.B.C.D.解析:为了利用柯西不等式,注意到1(2-α1)+(2-α2)+…+(2-αn)=2n-(α1+α2+…+αn)=2n-1,所以(2n-1)=[(2-α1)+(2-α2)+…+(2-αn)]·≥2=n2,所以y+n≥,y≥-n=.等号当且仅当α1=α2=…=αn=时成立,从而y有最小值.答案:A6.同时满足2x+3y+z=13,4x2+9y2+z2-2x+15y+3z=82的实数x、y、z的值分别为______,______,________.解析:可令x1=2x,x2=3y+3,x3=z+2,则x1+x2+x3=18且x+x+x=108,由此及柯西不等式得182=(x1+x2+x3)2≤(x+x+x)(12+12+12)=108×3,上式等号成立的充要条件是==⇒x1=x2=x3=6⇒x=3,y=1,z=4.所以3,1,4是所求实数x,y,z的值.答案:3147.已知实数a,b,c,d,e满足a+b+c+d+e=8,a2+b2+c2+d2+e2=16,则e的取值范围为________.解析:4(a2+b2+c2+d2)=(1+1+1+1)(a2+b2+c2+d2)≥(a+b+c+d)2,即4(16-e2)≥(8-e)2,即64-4e2≥64-16e+e2.∴5e2-16e≥0,故0≤e≤.答案:8.设a,b,c,x,y,z都是正数,且a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30,则=________.解析:由柯西不等式知:25×36=(a2+b2+c2)·(x2+y2+z2)≥(ax+by+cz)2=302=25×36,当且仅当===k时取等号.由k2(x2+y2+z2)2=25×36,解得k=.所以=k=.答案:9.已知x,y,z∈R,且x-2y-3z=4,求x2+y2+z2的最小值.解析:由柯西不等式,得[x+(-2)y+(-3)z]2≤[12+(-2)2+(-3)2](x2+y2+z2),即(x-2y-3z)2≤14(x2+y2+z2),即16≤14(x2+y2+z2).所以x2+y2+z2≥,当且仅当x==,即当x=,y=-,z=-时,x2+y2+z2的最小值为.10.在△ABC中,设其各边长分别为a,b,c,外接圆半径为R,求证:(a2+b2+c2)≥36R2.证明:由正弦定理知===2R,∴(a2+b2+c2)≥2=36R2.[B组能力提升]1.已知x,y,z∈R+,且x+y+z=1,则x2+y2+z2的最小值是()2A.1B.C.D.2解析:根据柯西不等式,x2+y2+z2=(12+12+12)·(x2+y2+z2)≥(1×x+1×y+1×z)2=(x+y+z)2=.答案:B2.若2a>b>0,则a+的最小值为()A.1B.3C.8D.12解析:∵2a>b>0,∴2a-b>0.∴a+=[(2a-b)+b+]≥·3=3.当且仅当2a-b=b=,即a=b=2时等号成立.∴当a=b=2时,a+有最小值3.答案:B3.若a,b,c为正数,则·的最小值为________.解析:由柯西不等式可知,(++)·(++)≥(·+·+·)2=32=9.答案:94.已知x,y,z∈R+,且x+y+z=1,则++的最小值为________.解析:利用柯西不等式.由于(x+y+z)≥2=36,所以++≥36.当且仅当x2=y2=z2,即x=,y=,z=时,等号成立.∴++的最小值为36.答案:365.已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式++≤λ恒成立,求λ的取值范围.解析:++≤++=(1×+1×+1×)≤[(12+12+12)(++)]12=,故λ的取值范围是[,+∞).6.已知函数f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集为[-1,1].(1)求m的值;(2)若a,b,c∈R+,且++=m,求证:a+2b+3c≥9.解析:(1)因为f(x+2)=m-|x|,所以f(x+2)≥0等价于|x|≤m,由|x|≤m有解,得m≥0,且其解集为{x|-m≤x≤m}.又f(x+2)≥0的解集为[-1,1],故m=1.(2)由(1)知++=1,又a,b,c∈R+,由柯西不等式得a+2b+3c=(a+2b+3c)(++)≥(·+·+·)2=9.3

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