二一般形式的柯西不等式[课时作业][A组基础巩固]1．已知x2＋y2＋z2＝1，则x＋2y＋2z的最大值为()A．1B．2C．3D．4解析：由柯西不等式得(x＋2y＋2z)2≤(12＋22＋22)(x2＋y2＋z2)＝9，所以－3≤x＋2y＋2z≤3.当且仅当x＝＝时，等号成立．所以x＋2y＋2z的最大值为3.答案：C2．n个正数的和与这n个正数的倒数和的乘积的最小值是()A．1B．nC．n2D．解析：设n个正数为x1，x2，…，xn，由柯西不等式，得(x1＋x2＋…＋xn)≥2＝(1＋1＋…＋1)2＝n2.当且仅当x1＝x2＝…＝xn时取等号．答案：C3．设a、b、c为正数，则(a＋b＋c)·(＋＋)的最小值为()A．11B．121C．49D．7解析：(a＋b＋c)·≥2＝121.答案：B4．设a，b，c均为正数且a＋b＋c＝9，则＋＋的最小值为()A．81B．9C．7D．49解析：考虑以下两组向量：u＝，v＝(，，)．由(u·v)2≤|u|2·|v|2得2≤(a＋b＋c)，当且仅当＝＝，即a＝2，b＝3，c＝4时取等号，可得·9≥(2＋3＋4)2＝81，所以＋＋≥＝9.答案：B5．设非负实数α1，α2，…，αn满足α1＋α2＋…＋αn＝1，则y＝＋＋…＋－n的最小值为()A.B．C.D．解析：为了利用柯西不等式，注意到1(2－α1)＋(2－α2)＋…＋(2－αn)＝2n－(α1＋α2＋…＋αn)＝2n－1，所以(2n－1)＝[(2－α1)＋(2－α2)＋…＋(2－αn)]·≥2＝n2，所以y＋n≥，y≥－n＝.等号当且仅当α1＝α2＝…＝αn＝时成立，从而y有最小值.答案：A6．同时满足2x＋3y＋z＝13,4x2＋9y2＋z2－2x＋15y＋3z＝82的实数x、y、z的值分别为______，______，________.解析：可令x1＝2x，x2＝3y＋3，x3＝z＋2，则x1＋x2＋x3＝18且x＋x＋x＝108，由此及柯西不等式得182＝(x1＋x2＋x3)2≤(x＋x＋x)(12＋12＋12)＝108×3，上式等号成立的充要条件是＝＝⇒x1＝x2＝x3＝6⇒x＝3，y＝1，z＝4.所以3,1,4是所求实数x，y，z的值．答案：3147．已知实数a，b，c，d，e满足a＋b＋c＋d＋e＝8，a2＋b2＋c2＋d2＋e2＝16，则e的取值范围为________．解析：4(a2＋b2＋c2＋d2)＝(1＋1＋1＋1)(a2＋b2＋c2＋d2)≥(a＋b＋c＋d)2，即4(16－e2)≥(8－e)2，即64－4e2≥64－16e＋e2.∴5e2－16e≥0，故0≤e≤.答案：8．设a，b，c，x，y，z都是正数，且a2＋b2＋c2＝25，x2＋y2＋z2＝36，ax＋by＋cz＝30，则＝________.解析：由柯西不等式知：25×36＝(a2＋b2＋c2)·(x2＋y2＋z2)≥(ax＋by＋cz)2＝302＝25×36，当且仅当＝＝＝k时取等号．由k2(x2＋y2＋z2)2＝25×36，解得k＝.所以＝k＝.答案：9．已知x，y，z∈R，且x－2y－3z＝4，求x2＋y2＋z2的最小值．解析：由柯西不等式，得[x＋(－2)y＋(－3)z]2≤[12＋(－2)2＋(－3)2](x2＋y2＋z2)，即(x－2y－3z)2≤14(x2＋y2＋z2)，即16≤14(x2＋y2＋z2)．所以x2＋y2＋z2≥，当且仅当x＝＝，即当x＝，y＝－，z＝－时，x2＋y2＋z2的最小值为.10．在△ABC中，设其各边长分别为a，b，c，外接圆半径为R，求证：(a2＋b2＋c2)≥36R2.证明：由正弦定理知＝＝＝2R，∴(a2＋b2＋c2)≥2＝36R2.[B组能力提升]1．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，则x2＋y2＋z2的最小值是()2A．1B．C.D．2解析：根据柯西不等式，x2＋y2＋z2＝(12＋12＋12)·(x2＋y2＋z2)≥(1×x＋1×y＋1×z)2＝(x＋y＋z)2＝.答案：B2．若2a>b>0，则a＋的最小值为()A．1B．3C．8D．12解析：∵2a>b>0，∴2a－b>0.∴a＋＝[(2a－b)＋b＋]≥·3＝3.当且仅当2a－b＝b＝，即a＝b＝2时等号成立．∴当a＝b＝2时，a＋有最小值3.答案：B3．若a，b，c为正数，则·的最小值为________．解析：由柯西不等式可知，(＋＋)·(＋＋)≥(·＋·＋·)2＝32＝9.答案：94．已知x，y，z∈R＋，且x＋y＋z＝1，则＋＋的最小值为________．解析：利用柯西不等式．由于(x＋y＋z)≥2＝36，所以＋＋≥36.当且仅当x2＝y2＝z2，即x＝，y＝，z＝时，等号成立．∴＋＋的最小值为36.答案：365．已知正数x，y，z满足x＋y＋z＝xyz，且不等式＋＋≤λ恒成立，求λ的取值范围．解析：＋＋≤＋＋＝(1×＋1×＋1×)≤[(12＋12＋12)(＋＋)]12＝，故λ的取值范围是[，＋∞)．6．已知函数f(x)＝m－|x－2|，m∈R，且f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]．(1)求m的值；(2)若a，b，c∈R＋，且＋＋＝m，求证：a＋2b＋3c≥9.解析：(1)因为f(x＋2)＝m－|x|，所以f(x＋2)≥0等价于|x|≤m，由|x|≤m有解，得m≥0，且其解集为{x|－m≤x≤m}．又f(x＋2)≥0的解集为[－1,1]，故m＝1.(2)由(1)知＋＋＝1，又a，b，c∈R＋，由柯西不等式得a＋2b＋3c＝(a＋2b＋3c)(＋＋)≥(·＋·＋·)2＝9.3
