3.2双曲线的简单性质课后训练案巩固提升A组1.已知双曲线=1的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于()A.B.C.D.解析: c=3,a2+5=9,∴a=2.故e=.答案:C2.设双曲线=1(a>0)的渐近线方程3x±2y=0,则a的值为()A.4B.3C.2D.1解析:双曲线=1的渐近线方程为3x±ay=0,与已知方程比较系数得a=2.答案:C3.中心在原点,焦点在x轴上的双曲线的一条渐近线经过点(4,-2),则它的离心率为()A.B.C.D.解析:,∴e=.答案:D4.已知双曲线=1(a>0,b>0)的两条渐近线均和圆C:x2+y2-6x+5=0相切,且双曲线的右焦点为圆C的圆心,则该双曲线的方程为()A.=1B.=1C.=1D.=11解析:圆心的坐标是(3,0),圆的半径是2,双曲线的渐近线方程是bx±ay=0,根据已知得=2,即=2,解得b=2,则a2=5,故所求的双曲线方程是=1.故选A.答案:A5.已知双曲线=1(b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,其一条渐近线方程为y=x,点P(,y0)在该双曲线上,则=()A.-12B.-2C.0D.4解析: y=x为渐近线方程,则b=2,即双曲线方程为x2-y2=2.当x=时,=1.又双曲线的半焦距为2,∴=(-2-,-y0)·(2-,-y0)=-1+=-1+1=0.故选C.答案:C6.导学号90074078设F1,F2分别为双曲线=1(a>0,b>0)的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点P,满足|PF2|=|F1F2|,且F2到直线PF1的距离等于双曲线的实轴长,则该双曲线的渐近线方程为()A.3x±4y=0B.3x±5y=0C.4x±3y=0D.5x±4y=0解析:如图,由题意得|PF2|=|F1F2|=2c,|F2M|=2a.在△PF2M中,|PF2|2=|F2M|2+|PM|2,而|PM|=|PF1|.又 |PF1|-|PF2|=2a,∴|PF1|=2a+2c,即|PM|=a+c.∴|PF2|2=(2c)2=(2a)2+(a+c)2.又c2=a2+b2,∴,∴渐近线方程为y=±x,即4x±3y=0.答案:C7.已知双曲线的中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5∶4,则双曲线的标准方程是.2解析:双曲线的中心在原点,一个顶点的坐标为(3,0),则焦点在x轴上,且a=3,焦距与虚轴长之比为5∶4,即c∶b=5∶4.又c2=a2+b2,解得c=5,b=4,所以双曲线的标准方程是=1.答案:=18.若双曲线的渐近线方程为y=±3x,它的一个焦点是(,0),则双曲线的方程是.解析:由题意,得c==3,由此解得b=3,a=1,故所求双曲线的方程是x2-=1.答案:x2-=19.已知双曲线=1的离心率为2,焦点与椭圆=1的焦点相同,那么双曲线的焦点坐标为;渐近线方程为.解析:椭圆=1的焦点坐标为(-4,0),(4,0),∴双曲线的焦点坐标为(-4,0),(4,0),在双曲线=1中,c=4,e=2,∴a=2.∴b=2.∴渐近线方程为x±y=0.答案:(±4,0)x±y=010.求适合下列条件的双曲线的标准方程.(1)虚轴长为12,离心率为;(2)两顶点间的距离为6,渐近线方程为y=±x;(3)求与双曲线x2-2y2=2有公共渐近线,且过点M(2,-2)的双曲线方程.解(1)设双曲线的标准方程为=1或=1(a>0,b>0).由题意,知2b=12,,且c2=a2+b2,∴b=6,c=10,a=8.3∴双曲线的标准方程为=1或=1.(2)设以y=±x为渐近线的双曲线方程为=λ(λ≠0).当λ>0时,a2=4λ,∴2a=2=6.∴λ=.当λ<0时,a2=-9λ,∴2a=2=6.∴λ=-1.∴双曲线的方程为=1或=1.(3)设与双曲线-y2=1有公共渐近线的双曲线方程为-y2=k(k≠0).将点M(2,-2)的坐标代入,得k=-(-2)2=-2.∴双曲线的标准方程为=1.B组1.已知0<θ<,则双曲线C1:=1与C2:=1的()A.实轴长相等B.虚轴长相等C.离心率相等D.焦距相等解析:对于θ∈,sin2θ+cos2θ=1,因而两条双曲线的焦距相等,故选D.答案:D2.过双曲线M:x2-=1的左顶点A作斜率为1的直线l,若l与双曲线M的两条渐近线分别相交于点B,C,且|AB|=|BC|,则双曲线M的离心率是()A.B.C.D.解析:这里的a=1,c=,故关键是求出b2,即可利用定义求解.易知A(-1,0),则直线l的方程为y=x+1,与两条渐近线y=-bx和y=bx的交点分别为B,C.4又|AB|=|BC|,解得b2=9,则c=,故有e=.答案:A3.过双曲线=1(a>0,b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线相交于M,N两点,以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点B,则双曲线的离心率等于.解析:因为以MN为直径的圆恰好过双曲线的右顶点,所以F1是圆心,半径|MF1|=|F1B|=a+c.由左焦点F1(-c,0),知点M(-c,a+c),将点M的坐标代入双曲线方程得=1,从而a2(a+c)2=b4,开方得a(a+c)=b2,可得c2-ac-2a2=0,即e2-e-2=0,解得e=2或e=-1(舍去).答案:24.设双曲线C:-y2=1(a>0)与直线l:x+y=1相交于两个不同的点A,B.求双曲线C的离心率e的取值范围.解由C与l相交于两个不同的点,故知方程组有两个不同的实数解.消去y...
