“3＋1”保分大题强化练六前3个大题和1个选考题不容有失1．已知△ABC的面积为3，且内角A，B，C依次成等差数列．(1)若sinC＝3sinA，求边AC的长；(2)设D为AC边的中点，求线段BD长的最小值．解：(1)∵△ABC的三个内角A，B，C依次成等差数列，∴B＝60°.设A，B，C所对的边分别为a，b，c，由△ABC的面积S＝acsinB＝3，可得ac＝12.∵sinC＝3sinA，∴由正弦定理知c＝3a，∴a＝2，c＝6.由余弦定理，得b2＝a2＋c2－2accosB＝28，∴b＝2，即AC的长为2.(2)∵BD是AC边上的中线，∴BD＝(BC＋BA)，∴BD2＝(BC2＋BA2＋2BC·BA)＝(a2＋c2＋2accos∠ABC)＝(a2＋c2＋ac)≥(2ac＋ac)＝9，当且仅当a＝c时取“＝”，∴|BD|≥3，即线段BD长的最小值为3.2．设F1，F2分别是椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右焦点，M是C上一点且直线MF2与x轴垂直，直线MF1与C的另一个交点为N.(1)若直线MN的斜率为，求C的离心率；(2)若直线MN在y轴上的截距为2，且|MN|＝5|F1N|，求a，b.解：(1)根据题设知M，即＝，整理得2b2＝3ac.将b2＝a2－c2代入2b2＝3ac，解得＝或＝－2(舍去)．故C的离心率为.(2)由题意，原点O为F1F2的中点，MF2∥y轴，所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点，故＝4，即b2＝4a.①由|MN|＝5|F1N|得|DF1|＝2|F1N|.设N(x1，y1)，由题意知y1<0，则即代入C的方程，得＋＝1.②将①及c＝代入②得＋＝1，解得a＝7，b2＝4a＝28，故a＝7，b＝2.3.如图，已知三棱锥PABC中，PC⊥AB，△ABC是边长为2的正三角形，PB＝4，∠PBC＝60°.(1)证明：平面PAC⊥平面ABC；(2)设F为棱PA的中点，求二面角PBCF的余弦值．解：(1)证明：在△PBC中，∠PBC＝60°，BC＝2，PB＝4，由余弦定理可得PC＝2，∴PC2＋BC2＝PB2，∴PC⊥BC，又PC⊥AB，AB∩BC＝B，∴PC⊥平面ABC.∵PC⊂平面PAC，∴平面PAC⊥平面ABC.(2)在平面ABC中，过点C作CM⊥CA，以CA，CM，CP所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.则C(0,0,0)，P(0,0,2)，A(2,0,0)，B(1，，0)，F(1,0，)，CB＝(1，，0)，CP＝(0,0,2)，CF＝(1,0，)．设平面PBC的法向量为m＝(x1，y1，z1)，则即取y1＝－1，则x1＝，z1＝0，即m＝(，－1,0)为平面PBC的一个法向量．设平面BCF的法向量为n＝(x2，y2，z2)，则即取x2＝，则y2＝－1，z2＝－1，即n＝(，－1，－1)为平面BCF的一个法向量，所以|cos〈m，n〉|＝＝＝，由图知二面角PBCF为锐角，∴二面角PBCF的余弦值为.选考系列(请在下面的两题中任选一题作答)4．[选修4－4：坐标系与参数方程]在平面直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为(α为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，射线l的极坐标方程为θ＝.(1)求曲线C的极坐标方程；(2)当0＜r＜2时，若曲线C与射线l交于A，B两点，求＋的取值范围．解：(1)由题意知曲线C的普通方程为(x－2)2＋y2＝r2，令x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，化简得ρ2－4ρcosθ＋4－r2＝0.(2)射线l的参数方程为(t为参数，t≥0)，将其代入曲线C的普通方程(x－2)2＋y2＝r2中，得t2－2t＋4－r2＝0，则Δ＝4－4(4－r2)>0，结合00，t2>0，∴＋＝＋＝＝.∵3
