第1讲空间几何体的三视图、表面积与体积空间几何体的三视图【教师备用】若某几何体的三视图如图所示,则这个几何体的直观图可以是(B)解析:由题意知,选项A,C中所给的几何体的正视图、俯视图不符合要求,选项D中所给几何体的侧视图不符合要求.故选B.1.(2014福建卷)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是(A)(A)圆柱(B)圆锥(C)四面体(D)三棱柱解析:圆柱的正视图是矩形或圆,不可能是三角形,则该几何体不可能是圆柱.故选A.2.已知一个三棱锥的三视图如图所示,其中三个视图都是直角三角形,则在该三棱锥的四个面中,直角三角形的个数为(D)(A)1(B)2(C)3(D)4解析:由题意可知,几何体是三棱锥,其放置在长方体中形状如图中三棱锥ABCD,利用长方体模型可知,此三棱锥的四个面,全部是直角三角形.故选D.3.(2014湖北卷)在如图所示的空间直角坐标系Oxyz中,一个四面体的顶点坐标分别是(0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2).给出编号为①②③④的四个图,则该四面体的正视图和俯视图分别为(D)(A)①和②(B)③和①(C)④和③(D)④和②解析:在空间直角坐标系Oxyz中作出棱长为2的正方体,在该正方体中作出四面体,如图所示,由图可知,该四面体的正视图为④,俯视图为②.故选D.空间几何体的表面积与体积4.(2015新课标全国卷Ⅱ)一个正方体被一个平面截去一部分后,剩余部分的三视图如图,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为(D)(A)(B)(C)(D)解析:由三视图可知,该几何体是一个正方体截去了一个三棱锥,即截去了正方体的一个角.设正方体的棱长为1,则正方体的体积为1,截去的三棱锥的体积为V1=××1×1×1=,故剩余部分的体积为V2=,所求比值为=.5.(2015大庆市二检)如图,网格纸上小正方形的边长为1,粗线画的是某几何体的三视图,则该几何体的表面积为(A)(A)32+4π(B)24+4π(C)12+(D)24+解析:该几何体为长方体与球的组合体,其中长方体的棱长分别为2,2,3,球的半径为1,故其表面积为2×2×2+2×3×4+4×π×12=32+4π,故选A.6.(2015河北沧州质检)已知一个几何体的三视图如图所示,若该几何体的体积为,则其俯视图的面积为(B)(A)π+2(B)2π+4(C)2π+6(D)π+4解析:三视图所对应的空间几何体为一半圆锥拼接一三棱锥,因为V=××πa2×4+××2a×a×4=a2(π+2)=,所以a2=4,所以俯视图的面积为πa2+·2a·a=2π+4,故选B.多面体与球的切接问题【教师备用】(2015东北三校联合二模)一个三棱锥的三视图如图所示,其中俯视图为等腰直角三角形,正视图和侧视图是全等的等腰三角形,则此三棱锥外接球的表面积为(B)(A)16π(B)9π(C)4π(D)π解析:由三视图可知立体图形如图所示.由三视图知顶点A在底面BCD上的射影E为BD中点,AE⊥底面BCD,BC⊥CD,BC=CD=2,BD=2,AE=2,设O为外接球球心,AO=R,OE=2-R,则AB==,在Rt△BOE中R2=(2-R)2+()2,得R=,因为S=4πR2,所以此三棱锥外接球的表面积为9π.【教师备用】(2015甘肃兰州第二次监测)已知长方体ABCDA1B1C1D1的各个顶点都在球O的球面上,若球O的表面积为16π,且AB∶AD∶AA1=∶1∶2,则球心O到平面ABCD的距离为(B)(A)1(B)(C)(D)2解析:设外接球O的半径为R,则4πR2=16π,所以R=2,由题意知长方体的对角线为球的直径,又AB∶AD∶AA1=∶1∶2,设AD=x,AB=x,AA1=2x,则x2+(x)2+(2x)2=42,解得x=,球心O到平面ABCD的距离为AA1=x=,选B.7.(2015江西上饶三模)从点P出发的三条射线PA,PB,PC两两成60°角,且分别与球O相切于A,B,C三点,若OP=,则球的体积为(C)(A)(B)(C)(D)解析:设OP交平面ABC于O′,由题得△ABC和△PAB为正三角形,所以O′A=AB=AP,因为AO′⊥PO,OA⊥PA,所以=,=,=,所以OA==×=1,即球的半径为1,所以其体积为π×13=π.选C.8.(2015东北三校第一次联合模拟)三棱柱ABCA1B1C1各顶点都在一个球面上,侧棱与底面垂直,∠ACB=120°,CA=CB=2,AA1=4,则这个球的表面积为.解析:在△ABC中,∠ACB=120°,CA=CB=2,由余弦定理可得AB=6,由正弦定理可得△ABC外接圆半径r=2,设此圆圆心为O′,球心为O,在Rt△OAO′中,球半径R==4,故球的表面积为S=4πR2=64π.答案:64π一、选择题1.某几何体的正视图和侧视图均如图所示,则该几何体的俯视图不可能是(D)解析:根据几何体的三视图知识求解.由于该几何体的正视图和侧视图相同,且上部是一个矩形,矩形中间无实线和...
