初中数学浅谈一般四边形的解题策略学法指导 试题VIP专享VIP免费

初中数学浅谈一般四边形的解题策略刘宁一.通过添加辅助线转化为有关三角形的问题来解决。1.添对角线例1.如图1所示，在四边形ABCD中，AE、AF分别是BC、CD的中垂线，∠EAF=80°，∠CBD=30°。求：∠ABC和∠ADC的度数。图1析解：如图1所示，连结AC。因为AE、AF分别是BC、CD的中垂线所以AB=AC=AD所以B、C、D在以A为圆心，AB为半径的圆上因为∠CBD=30°所以∠DAC=2∠DBC=60°从而∠DAF=30°因此∠ADC=60°又∠EAC=80°-30°=50°所以∠ABC=∠ACE=90°-50°=40°例2.如图2所示，在四边形ABCD中，∠B=90°，AB=2，，CD=5，DA=3。求：四边形ABCD的面积。图2析解：本题中四边形不是已知面积公式的四边形，注意到∠B是直角添对角线AC，可将它分成两个三角形来求面积。连结AC，在Rt△ABC中∠B=90°，AB=2，由勾股定理，得AC=4又因为CD=5，DA=3，由勾股定理的逆定理可判定△ADC也是直角三角形，∠DAC=90°。注：添对角线是将四边形转化为三角形的最直接也是最常用的方法。2.添高线例3.如图3所示，在四边形ABCD中，BC>BA，AD=DC，BD平分∠ABC。求证：∠A+∠C=180°。图3证明：如图3所示过点D作DE⊥AB交BA的延长线于E，DE⊥BC于F。因为BD平分∠ABC所以DE=DF，Rt△EAD≌Rt△FCD所以∠C=∠EAD因为∠EAD+∠BAD=180°所以∠C+∠BAD=180°例4.如图4所示，在四边形ABCD中，AB=6，∠ABD=∠CBD，。求：△BCD的面积。图4析解：欲求三角形BCD的面积，因为边BC、BD已知，故只需求出BC（或BD）边上的高，注意到BD为∠ABC的平分线和∠A=60°，作相关边上的高线可达到目的。过点D作DE⊥AB于E，DH⊥BC交BC的延长线于H因为∠A=60°，∠ADE=30°设AE=x，则AD=2x，BE=6-x因为AD2-AE2=BD2-EB2=DE2即因为点D在∠ABC的平分线上二.利用补形法例5.如图5所示，在四边形ABCD中，∠B=∠C=60°，P为BC上的一点，且BP=3，PC=6，AB=1，CD=4。求：∠APD的度数。图5析解：本题题设中∠B=∠C=60°，通过作延长线可将四边形进行补形，将问题转化为等边三角形求解。延长BA、CD相交于点Q，连结QP，则△QBC为等边三角形得同理：所以∠BPA+∠CPD=∠BQP+∠CQP=60°故∠APD=180°-（∠BPA+∠CPD）=180°-60°=120°三.利用平移法例6.在四边形ABCD中，AD=BC，E、F分别为AB、CD的中点，直线EF与AD的延长线相交于G，与BC的延长线相交于H。求证：∠AGE=∠BHE。证明：如图6所示，过F作，连结AM、BM、BN、NA、MN。图6所以。四边形AMBN是平行四边形所以MN和AB互相平分，MN过AB的中点E因为MF=NF，所以△MFN是等腰三角形，FE是底边MN上的中线所以∠MFE=∠NFE又因为∠MFE=∠AGE∠NFE=∠BHE所以∠AGE=∠BHE四.利用旋转法例7.如图7所示，在四边形ABCD中，∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，DP⊥AB，P为垂足，且。求：DP的长度。图7析解：将△DAP绕点D按逆时针方向旋转90°到△DQC的位置。因为∠ADC=∠ABC=90°，AD=CD，Rt△DQC≌Rt△DPA所以四边形DPBQ为正方形，DP为正方形的边因为所以注：要善于运用“平移法”“旋转法”思考方法，寻觅图形间的联系，汇聚已知条件和结论，才能达到解决问题的目的。