第五章一元函数的导数及其应用5.2导数的运算5.2.3简单复合函数的导数课后篇巩固提升基础达标练1.下列函数不是复合函数的是()A.y=-x3-1x+1B.y=cosx+π4C.y=1lnxD.y=(2x+3)4解析A不是复合函数,B、C、D均是复合函数,其中B是由y=cosu,u=x+π4复合而成;C是由y=1u,u=lnx复合而成;D是由y=u4,u=2x+3复合而成.答案A2.(2020安徽高二期末)函数f(x)=sin2x的导数是()A.2sinxB.2sin2xC.2cosxD.sin2x解析将y=sin2x写成y=u2,u=sinx的形式.对外函数求导为y'=2u,对内函数求导为u'=cosx,故可以得到y=sin2x的导数为y'=2ucosx=2sinxcosx=sin2x,故选D.答案D3.(2020福建高二期末)已知函数f(x)=sin2xx,则f'(x)=()A.xcos2x-sin2xx2B.xcos2x+sin2xx2C.2xcos2x-sin2xx2D.2xcos2x+sin2xx2解析因为f(x)=sin2xx,故f'(x)=(sin2x)'x-sin2x·x'x2=2xcos2x-sin2xx2,故选C.答案C4.(2020山东高三期末)已知直线y=x+1与曲线y=ln(x+a)相切,则a的值为()A.1B.2C.-1D.-2解析设切点坐标是(x0,x0+1),依题意有{1x0+a=1,x0+1=ln(x0+a),由此得x0+1=0,x0=-1,a=2.答案B5.(多选)设函数f(x)=cos(√3x+φ)(0<φ<2π),若f(x)+f'(x)是奇函数,则φ的可能取值为()A.π6B.5π6C.7π6D.11π6解析f'(x)=-√3sin(√3x+φ),f(x)+f'(x)=cos(√3x+φ)-√3sin(√3x+φ)=2sin√3x+φ+5π6.若f(x)+f'(x)为奇函数,则f(0)+f'(0)=0,即0=2sinφ+5π6,因此φ+5π6=kπ(k∈Z).又因为φ∈(0,2π),所以φ=π6或φ=7π6.答案AC6.(2020海南中学高二期末)设函数f(x)在(0,+∞)内可导,其导函数为f'(x),且f(lnx)在x=e处的导数为1e2,则f'(1)=.解析设g(x)=f(lnx),由复合函数的求导法则可得g'(x)=1xf'(lnx).由题意可得g'(e)=1ef'(1)=1e2,解得f'(1)=1e.故答案为1e.答案1e7.若曲线y=xlnx上点P处的切线平行于直线2x-y+1=0,则点P的坐标是,切线方程为.解析设P(x0,y0). y=xlnx,∴y'=lnx+x·1x=1+lnx.∴k=1+lnx0.又k=2,∴1+lnx0=2,∴x0=e.∴y0=elne=e.∴点P的坐标是(e,e).故切线方程为y-e=2(x-e),即2x-y-e=0.答案(e,e)2x-y-e=08.(2020江苏高三开学考试)已知函数f(x)=mlnx图象与函数g(x)=2√x图象在交点处切线方程相同,则m的值为.解析设函数f(x)和g(x)的交点为(x0,y0),则由f(x)=mlnx,得f'(x)=mx,∴f(x)在(x0,y0)处的切线方程的斜率k1=mx0,同理,函数g(x)在(x0,y0)处的切线方程的斜率k2=√x0x0, f(x)和g(x)在交点处切线方程相同,∴k1=k2,即mx0=√x0x0,①又y0=f(x0)=mlnx0,②y0=g(x0)=2√x0,③由①②③解得,m=e.答案e9.求下列函数的导数.(1)y=e2x+1;(2)y=1(2x-1)3;(3)y=5log2(1-x);(4)y=sin3x+sin3x.解(1)函数y=e2x+1可看作函数y=eu和u=2x+1的复合函数,∴yx'=yu'·ux'=(eu)'(2x+1)'=2eu=2e2x+1.(2)函数y=1(2x-1)3可看作函数y=u-3和u=2x-1的复合函数,∴yx'=yu'·ux'=(u-3)'(2x-1)'=-6u-4=-6(2x-1)-4=-6(2x-1)4.(3)函数y=5log2(1-x)可看作函数y=5log2u和u=1-x的复合函数,∴yx'=yu'·ux'=(5log2u)'·(1-x)'=-5uln2=5(x-1)ln2.(4)函数y=sin3x可看作函数y=u3和u=sinx的复合函数,函数y=sin3x可看作函数y=sinv和v=3x的复合函数.∴yx'=(u3)'·(sinx)'+(sinv)'·(3x)'=3u2·cosx+3cosv=3sin2xcosx+3cos3x.能力提升练1.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线与直线y=0和y=x围成的三角形的面积为()A.13B.12C.23D.1解析依题意得y'=e-2x·(-2)=-2e-2x,y'x=0=-2e-2×0=-2.曲线y=e-2x+1在点(0,2)处的切线方程是y-2=-2x,即y=-2x+2.在坐标系中作出直线y=-2x+2、y=0与y=x的图象,因为直线y=-2x+2与y=x的交点坐标是23,23,直线y=-2x+2与x轴的交点坐标是(1,0),结合图象可得,这三条直线所围成的三角形的面积等于12×1×23=13.答案A2.已知点P在曲线y=4ex+1上,α为曲线在点P处的切线的倾斜角,则α的取值范围是()A.0,π4B.π4,π2C.π2,3π4D.3π4,π解析因为y=4ex+1,所以y'=-4ex(ex+1)2=-4exe2x+2ex+1=-4ex+1ex+2.因为ex>0,所以ex+1ex≥2,所以y'∈[-1,0),所以tanα∈[-1,0).又因为α∈[0,π),所以α∈3π4,π.答案D3.(多选)(2020江苏镇江中学高二期末改编)直线y=12x+b能作为下列()函数的图象的切线.A.f(x)=1xB.f(x)=x4C.f(x)=sinx2D.f(x)=ex解析由f(x)=1x,得f'(x)=-1x2=12,无解,故A排除;由f(x)=x4,得f'(x)=4x3=12,...
