3．2.1空间向量与平行关系1．直线的方向向量和平面的法向量.直线的方向向量求平移到直线上的____向量，叫做直线的一个方向向量平面的法向量直线l⊥α，取直线l的________n，叫做平面α的法向量想一想：直线的方向向量与平面的法向量各有几个？它们各自的关系是怎样的？2．空间平行的三种情况及判断方法.线线平行l∥m⇔________⇔a＝kb(k∈R)线面平行l∥α⇔________⇔________面面平行α∥β⇔________⇔____________基础梳理1．非零方向向量想一想：直线的方向向量与平面的法向量各有无数个，它们都是对应的平行向量．2．a∥ba⊥ua·u＝0u∥vu＝kv(k∈R)1．若直线l1，l2的方向向量分别为a＝(1，2，－2)，b＝(－2，3，2)，则()A．l1∥l2B．l1⊥l2C．l1、l2相交但不垂直D．不能确定2．如果直线l的方向向量是a＝(－2，0，1)，且直线l上有一点P不在平面α内，平面1α的法向量是b＝(2，0，4)，那么()A．l⊥αB．l∥αC．l⊂αD．l与α斜交3．平面α的法向量u＝(x，1，－2)，平面β的法向量v＝，已知α∥β，则x＋y＝()A.B.C.D.自测自评1．B2．解析： a·b＝－4＋4＝0，∴a⊥b，又 l⊄α，∴l∥α.答案：B3．解析：因为α∥β，所以u∥v，所以＝＝，解得x＝4，y＝－，所以x＋y＝.故选B.答案：B1．l1的方向向量为v1＝(1，2，3)，l2的方向向量v2＝(λ，4，6)，若l1∥l2，则λ＝()A．1B．2C．3D．41．解析： l1∥l2，∴v1∥v2，则＝，∴λ＝2.答案：B2．若AB＝λCD＋μCE，则直线AB与平面CDE的位置关系是()A．相交B．平行C．在平面内D．平行或在平面内2．解析： AB＝λCD＋μCE，∴AB、CD、CE共面，则AB与平面CDE的位置关系是平行或在平面内．答案：D3．设平面α内两向量a＝(1，2，1)，b＝(－1，1，2)，则下列向量中是平面α的法向量的是()A．(－1，－2，5)B．(－1，1，－1)C．(1，1，1)D．(1，－1，－1)3．解析：平面α的法向量应当与a、b都垂直，可以检验知B选项适合．答案：B4．已知平面α内有一个点A(2，－1，2)，α的一个法向量为n＝(3，1，2)，则下列点P中，在平面α内的是()A．(1，－1，1)B.C.D.24．解析：对于B，AP＝，则n·AP＝(3，1，2)·＝0，∴n⊥AP，则点P在平面α内．答案：B5．如图，在平行六面体ABCDA1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，平行六面体的各棱长均相等．给出下列结论：①A1M∥D1P；②A1M∥B1Q；③A1M∥平面DCC1D1；④A1M∥平面D1PQB1.这四个结论中正确的个数为()A．1个B．2个C．3个D．4个5．解析：因为A1M＝A1A＋AM＝A1A＋AB，D1P＝D1D＋DP＝A1A＋AB，所以A1M∥D1P，从而A1M∥D1P，可得①③④正确．又B1Q与D1P不平行，故②不正确．故选C.答案：C6．若平面α的一个法向量为u1＝(－3，y，2)，平面β的一个法向量为u2＝(6，－2，z)，且α∥β，则y＋z＝________．6．解析： α∥β，∴u1∥u2，∴＝＝，∴y＝1，z＝－4，∴y＋z＝－3.答案：－37．下列命题中，正确的是________(填序号)．①若n1，n2分别是平面α，β的一个法向量，则n1∥n2⇔α∥β；②若n1，n2分别是平面α，β的一个法向量，则α⊥β⇔n1·n2＝0；③若n是平面α的一个法向量，a与平面α共面，则n·a＝0；④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直．7．解析：②③④一定正确，①中两平面有可能重合．答案：②③④8．已知三棱锥PABC，D、E、F分别为棱PA、PB、PC的中点，求证：平面DEF∥平面ABC.8．证明：方法一如图所示，3设PD＝a，PE＝b，PF＝c，则由条件知，PA＝2a，PB＝2b，PC＝2c，设平面DEF的法向量为n，则n·DE＝0，n·DF＝0，∴n·(b－a)＝0，n·(c－a)＝0，∴n·AB＝n·(PB－PA)＝n·(2b－2a)＝0，n·AC＝n·(PC－PA)＝n·(2c－2a)＝0，∴n⊥AB，n⊥AC，∴n是平面ABC的法向量，∴平面DEF∥平面ABC.方法二设PD＝a，PE＝b，PF＝c，则PA＝2a，PB＝2b，PC＝2c，∴DE＝b－a，DF＝c－a，AB＝2b－2a，AC＝2c－2a，对于平面ABC内任一直线l，设其方向向量为e，由平面向量基本定理知，存在唯一实数对(x，y)，使e＝xAB＋yAC＝x(2b－2a)＋y(2c－2a)＝2x(b－a)＋2y(c－a)＝2xDE＋2yDF，∴e与DE、DF共面，即e∥平面DEF，∴l⊄平面DEF，∴l∥平面DEF.由l的任意性知，平面ABC∥...
