选修1-22.3.1抛物线及其标准方程一、选择题1．平面内到定点F的距离等于到定直线l的距离的点的轨迹是()A．抛物线B．直线C．抛物线或直线D．不存在[答案]C[解析]当F∈l上时，是直线，当F∉l上时，是抛物线．2．顶点在坐标原点，对称轴为坐标轴，又过点(－2,3)的抛物线方程是()A．y2＝xB．x2＝yC．y2＝－x或x2＝－yD．y2＝－x或x2＝y[答案]D[解析] 点(－2,3)在第二象限，∴设抛物线方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2p′y(p′>0)，又点(－2,3)在抛物线上，∴9＝4p，p＝，4＝6p′，p′＝.3．抛物线y＝ax2的准线方程是y＝2，则a的值为()A.B．－C．8D．－8[答案]B[解析] y＝ax2，∴x2＝y，其准线方程为y＝2，∴a<0,2＝，∴a＝－.4．抛物线y＝4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()A.B.C.D．0[答案]B[解析] 抛物线y＝4x2的焦点坐标为(0，)，准线方程为y＝－，由抛物线的定义知yM＋＝1，∴yM＝.5．抛物线y2＝8px(p>0)，F为焦点，则p表示()A．F到准线的距离B．F到准线距离的C．F到准线距离的D．F到y轴的距离[答案]B[解析]设y2＝2mx(m>0)，则m表示焦点到准线的距离，又2m＝8p，∴p＝.6．抛物线y＝x2(a≠0)的焦点坐标为()1A．a>0时为(0，a)，a<0时为(0，－a)B．a>0时为(0，)，a<0时为(0，－)C．(0，a)D．(，0)[答案]C[解析]a>0时，x2＝4ay的焦点为(0，a)；a<0时，x2＝4ay的焦点为(0，a)，这时焦点在y轴负半轴上．故不论a为何值，x2＝4ay的焦点总为(0，a)，故选C.7．(2010·福建理，2)以抛物线y2＝4x的焦点为圆心，且过坐标原点的圆的方程为()A．x2＋y2＋2x＝0B．x2＋y2＋x＝0C．x2＋y2－x＝0D．x2＋y2－2x＝0[答案]D[解析] 抛物线y2＝4x的焦点是(1,0)．∴圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.8．过抛物线y2＝4x的焦点作一条直线与抛物线相交于A、B两点，它们的横坐标之和等于5，则这样的直线()A．有且仅有一条B．有且仅有两条C．有无穷多条D．不存在[答案]B[解析]当斜率不存在时，x1＋x2＝2不符合题意．因为抛物线的焦点坐标为(1,0)，设直线方程为y＝k(x－1)，由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，∴x1＋x2＝＝5，∴k2＝，即k＝±.因而这样的直线有且仅有两条．9．抛物线y2＝8x上一点P到x轴距离为12，则点P到抛物线焦点F的距离为()A．20B．8C．22D．24[答案]A[解析]设P(x0,12)，则x0＝18，∴|PF|＝x0＋＝20.10．抛物线y＝－x2上的点到直线4x＋3y－8＝0距离的最小值是()A.B.C.D．3[答案]A2[解析]设(x0，y0)为抛物线y＝－x2上任意一点，∴y0＝－x，∴d＝＝，∴dmin＝＝.二、填空题11．已知圆x2＋y2－6x－7＝0与抛物线y2＝2px(p>0)的准线相切，则p＝________.[答案]2[解析]抛物线的准线方程为：x＝－，圆心坐标为(3,0)，半径为4，由题意知3＋＝4，∴p＝2.12．过抛物线y2＝4x的焦点作直线交抛物线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如果x1＋x2＝6，那么|AB|＝________.[答案]8[解析]由抛物线定义，得|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.13．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线关于x轴对称，顶点在原点O，且过点P(2,4)，则该抛物线的方程是________．[答案]y2＝8x[解析]由题意可设抛物线方程为y2＝2ax， 点P(2,4)在抛物线上，∴42＝4a，∴a＝4.即所求抛物线的方程为y2＝8x.14．在抛物线y2＝12x上，与焦点的距离等于9的点的坐标是________．[答案](6，±6)[解析]设抛物线的焦点F(3,0)，准线x＝－3，抛物线上的点P，满足|PF|＝9，设P(x0，y0)，则|PF|＝x0＋＝x0＋3＝9，∴x0＝6，∴y0＝±6.三、解答题15．已知抛物线的标准方程如下，分别求其焦点和准线方程：(1)y2＝6x；(2)2y2＋5x＝0；(3)x＝ay2(a≠0)．[解析](1) 2p＝6，∴p＝3.又 开口向右，∴焦点坐标是(，0)，准线方程为x＝－.(2)将2y2＋5x＝0变形为y2＝－x.∴2p＝，p＝，开口向左．∴焦点为(－，0)，准线方程为x＝.(3) 原抛物线方程为y2＝x，∴2p＝.当a>0时，＝，抛物线开口向右，焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－；当a<0时，＝－，抛物线开口向左，焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－.故当a≠0时，抛物线x＝ay2的焦点坐标为(，0)，准线方程为x＝－.16．已知抛物线过点(1，－2)，求抛物线的标准方程．[解析] 点(1，...
